limes po definiciji

limes po definiciji 26.01.2010. u 21:28 · pre 203 meseci #1

Muce me dva limesa,dobila sam rezultat ali nisam sigurna dali je tacan.
1. $\lim_{x \to 3} {1\over x} ={ 1\over3}$
ja dobijam da je $\delta ={{9\varepsilon}\over{1-3\varepsilon}}$

2. $\lim_{x \to 4} { {\sqrt{x-4} } = 0$
ja dobijam da je $\delta=\varepsilon^2$
Bila bih zahvalna ukoliko mi odgovorite dali je tacno ili ne,treba mi za sutra

_{[Ovu poruku je menjao Janinka dana 27.01.2010. u 06:45 GMT+1]}

Re: limes po definiciji 26.01.2010. u 21:53 · pre 203 meseci #2

1.Apsolutne vrednosti sam uradila ovako
$|{{1\over{x}}-{1\over{3}}|}={|{3-x}|\over|{3x}|}={{|x-3|}\over{3|x|}}<{\delta\over{3(\delta+3)}}$
2. $|{\sqrt{x-4}}|={\sqrt{x-4}}<{\sqrt{\delta}}={\varepsilon}$

Re: limes po definiciji 27.01.2010. u 10:21 · pre 203 meseci #3

1.

Citat:

Janinka:

$|{{1\over{x}}-{1\over{3}}|}={|{3-x}|\over|{3x}|}={{|x-3|}\over{3|x|}}<{\delta\over{3(\delta+3)}}$

kontraprimjer:

epsilon=1/6, delta=3, x=1
dobijemo 2/3<1/6 tj. 4/6<1/6.

Citat:

Janinka:

$\delta ={{9\varepsilon}\over{1-3\varepsilon}}$

Postoji epsilon=1/3 tako da na osnovu jednakosti za delta, delta ne mozes nadjes.

Re: limes po definiciji 27.01.2010. u 21:22 · pre 203 meseci #4

Pa gde onda gresim?Mozda u nejednakosti?

Re: limes po definiciji 27.01.2010. u 23:15 · pre 203 meseci #5

Janinka ti nigde ne grešiš, ako je bio u pitanju desni limes, to jest X->3 + delta.
Rezultat levog limesa je isti kao i desnog 1/3, ali zavisnost delte preko epsilon izađe malo drugačija.

Ne valja "kontraprimer".
U njemu X->1, što nema blage veze sa tvojim limesom gde X->3.

_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 28.01.2010. u 00:28 GMT+1]}

Re: limes po definiciji 02.02.2010. u 13:10 · pre 203 meseci #6

Citat:

miki069

Ne valja "kontraprimer".
U njemu X->1, što nema blage veze sa tvojim limesom gde X->3.

Pogledaj definiciju limesa, npr. ovdje.

Citat:

Janinka

Pa gde onda gresim?Mozda u nejednakosti?

Da, grijesis u nejednakosti.

Re: limes po definiciji 03.02.2010. u 21:02 · pre 203 meseci #7

E sad,da mi malo pomognete gde tacno gresim?Nisam nikada radila ovakve nejednakosti,znam kad je funcija linearna ili kvadratna,ali sam ovde zaglavila.Znam da ne resavate zadatke,ali bar sam se potrudila,pa me stvarno interesuje.

Re: limes po definiciji 03.02.2010. u 21:53 · pre 203 meseci #8

Već ti je dat odgovor.
Nigde nisi pogrešila ako si radila desni limes kada X->3+delta.
Kada X->3-delta dobije se malo drugačija zavisnost delta od epsilon.
X je broj iz intervala (3-delta, 3+delta) tako da X=1 ne može nikako biti kontra primer.

Re: limes po definiciji 06.02.2010. u 12:41 · pre 203 meseci #9

Riješimo limes 1.

$\lim_{x \to 3}\frac{1}{x}=\frac{1}{3}.$

Pogledajmo definiciju limesa:

$\lim_{x \to a}f(x)=b\Leftrightarrow (\forall\varepsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon).$

Neka je $|x-3|<\delta$ , $\delta=\delta(\varepsilon).$ Odredimo $\varepsilon$ i $\delta$ u zavisnosti od $\varepsilon.$

Vrijedi nejednakost $\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\right|=\left|\frac{3-x}{3\cdot x}\right|=\frac{|x-3|}{3\cdot |x|}<\frac{\delta}{3\cdot |x|}.$

Takođe vrijedi $|x|=|(x-3)+3|\geq||x-3|-|3||=|3-|x-3||>3-\delta.$

Poslednja u nizu nejednakosti vrijedi pod uslovom $|x-3|<\delta<3;$
jasno je da onda vrijedi $|3-|x-3||=3-|x-3|.$

Dobijamo da je $\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\right|<\frac{\delta}{3\cdot |x|}<\frac{\delta}{3\cdot(3-\delta)}=\varepsilon.$

Odatle je $\delta=\frac{9\varepsilon}{1+3\varepsilon}.$

Pokažimo da vrijedi uslov $\delta<3$ za svako $\varepsilon>0.$

Iz $\frac{9\varepsilon}{1+3\varepsilon}<3$ dobijamo $0\cdot\varepsilon<3$ , što je i trebalo pokazati.

Pojasnimo kontraprimjer:

Iz $\varepsilon=\frac{1}{6}$ na osnovu formule $\delta=\frac{9\varepsilon}{1-3\varepsilon}$ dobijamo $\delta=3.$

Za x=1 dobijamo $|x-a|=|1-3|=2<3=\delta\Rightarrow|f(x)-b|=\left|\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right|=\frac{2}{3}>\frac{1}{6}=\varepsilon.$

Re: limes po definiciji 07.02.2010. u 13:37 · pre 203 meseci #10

molim vas treba mi hitno!! naci limes niza ,a pre toga dokazati da je monoton i ogranicen:
$a2=a1+(a1-c)^2$
gde je 0<c<1, n>=1,a1=0

Re: limes po definiciji 08.02.2010. u 13:33 · pre 203 meseci #11

U pravu si Sini82. Ovo tvoje rešenje je ispravno i za X->3+delta i X->3-delta.
Janinkino je ispravno samo za X->3+delta, a samim tim i nekompletno.

Srodne teme