Vietove formule za polinome viseg reda

za polinom trećeg stepena: a*X^3 + b*X^2 + c*X + d imaju 3 Vijetove formule:

X1 + X2 + X3 = -b/a
X1*X2 + X1*X3 + X2*X3 = +c/a
X1*X2*X3 = -d/a


za polinom četvrtog stepena: a*X^4 + b*X^3 + c*X^2 + d*X+e imaju 4 Vijetove formule:

X1 + X2 + X3 + X4 = -b/a
X1*X2 + X1*X3 + X1*X4 + X2*X3 + X2*X4 + X3*X4 = +c/a
X1*X2*X3 + X1*X2*X4 + X1*X3*X4 + X2*X3*X4 = -d/a
X1*X2*X3*X4 = +e/a


Polinom n-tog stepena ima n Vijetovih formula.

Prva na levoj strani ima zbirove proizvoda od po jedne nula polinoma.
Druga na levoj strani ima zbirove proizvoda od po dve nule (sve kombinacije).
Treća na levoj strani ima zbirove proizvoda od po tri nule (sve kombinacije)

.
.
.
k-ta na levoj strani ima zbirove proizvoda od po k nula (sve kombinacije)
.
.
.

Na desnoj strani se znak menja naizmenično, u imeniocu je uvek vodeći koeficijent, a brojioci se menjaju od drugog pa redom.

Dokazuju se lagano izjednačavanjem polinomskog oblika i faktorskog oblika a*(X-X1)*(X-X2)*(X-X3)....(X-Xn) kada se ovaj desni izmnoži.

Probaj sam da ispišeš 5 Vijetovih formula za polinom 5-og stepena.
To je najbolji test.

"Pišem rad na tu temu..."

Koja vrsta rada je: doktorski, magistarski, diplomski, seminarski, srednja škola, osnovna, vrtić..???

Napiši za polinom 5-og stepena. Ako ne znaš da pišem?

Najbitniji deo terije je dokaz.

Za polinom drugog stepena:
a*X^2 + b*X + c se dokazuje izjednačavanjem njega sa faktorskim oblikom a*(X-X1)*(X-X2), množenjem istog i izjednačavanjem koeficijenata uz iste stepene.

Za treći stepen: a*X^3 + b*X^2 + c*X + d izjednačavanjem istog sa a*(X-X1)*(X-X2)*(X-X3). Ovde je već malo teže izmnožiti ali se uradi.

I tako za više stepene.
Što je stepen viši to je dokaz teži i teži.
Ako ne ide dokaz napisaću ti.

Ostaje onda u teoriji nedokazan faktorki oblik a*(X-X1)*(X-X2)*(X-X3)*(X-X4)....
On se dokazuje preko Osnovnog stava algebre i posledice Bezuovog stava o deljivosti polinoma sa (X-Xi).
Osnovni stav algbre: "svaki polinom stepena n>=1 ima bar jednu nulu".
Probaj taj dokaz sam da izvedeš. Ako ne ide napisaću ti.
Njega staviš u uvodni deo rada jer se faktorki oblik kasnije koristi.

Finalizovenje ide pisanjem Vijetovih formula za polinom n-tog stepena.