Čemu služi bijekcija?

Malo sam se zabavljao sa bijekcijom i došao do nekih čudnih zaključaka.
Neki matematičari su mi rekli da se bijekcijom dokazuje da na primer dve
različite duži imaju jednak broj tačaka jer se svakoj tački jedne duži može
pridružiti neka tačka druge duži.
Ali ja sam, čini mi se, došao sasvim korektno do zaključka da se u tom
slučaju može pokazati da neka duž ima više tačaka od same sebe.
Gde grešim? Evo i priloga:

A šta smatraš pod tačkom?
Polaziš od pretpostavke da ona ima fizičke dimenzije? (širinu, dužinu, obim, površinu,...)
I kako interperetiraš tačku? kao kružić, kvadratić, pravougaonik, trouglić,...?

Vezano za temu i skup prirodnih brojeva ima istu moć(isti broj elemenata) kao i skup parnih prirodnih brojeva.

Dolazio si ti i ranije do mnogih čudnih zakjučaka.

Svaki beskonačan skup se može bijektivno preslikati u svoj pravi deo. Nije ništa čudno što se duž može bijektivno preslikati na svoj pravi deo, jer je duž beskonačan skup tačaka. No, to znači da duž ima najmanje toliko elemenata koliko i ona sama.

Skupovi se po broju elemenata (kardinalnom broju) porede na sledeću način:

Ako postoji bijekcija izmežu skupova, kaže se da imaju isti kardinalni broj.
Ako se skup A može 1-1 preslikati u skup B, kaže se da skup A ima manji ili jednak kardinalni broj od skupa B.
Ako se skup A može 1-1 preslikati u skup B, a ne postoji bijekcija između njih, kaže se da skup A ima manji kardinalni broj od skupa B.

Možeš ti jednoj duži dodati drugu duž, ali time nećeš povećati kardinalni broj.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Duž je beskonačan skup tačaka. Skup je beskonačan ako ima isti broj elemenata kao neki njegov pravi podskup, što nikako ne može da bude osobina konačnih skupova. To ne znači da duž sadržana u duži sadrži u sebi manje tačaka od duži u kojoj je sadržana. One sadrže u sebi isti broj tačaka, što se pokazuje tako da se među njima uspostavi bijekcija (obostrano jednoznačno preslikavanje).

Beskonačan skup ima prebrojivo mnogo ili neprebrojivo mnogo elemenata zavisno od toga da li je uspostavljena bijekcija sa skupom N ili sa skupom R. Svaka duž ako su joj početna i krajna tačka različite sadrži neprebrojivo mnogo tačaka.

Bijekcijom se prebrojavaju i konačni i beskonačni skupovi.

Primjer 1.

Skup malih slova abecede ima 30 elemenata jer vrijedi {a,b,c,...,ž}~{1,2,3,...30} (bijekcija sa konačnim podskupom skupa N).

Primjer 2.

Skup cijelih brojeva ima prebrojivo mnogo elemenata jer vrijedi Z~N (bijekcija sa skupom N).

Primjer 3.

Skup tačaka na intervalu (0,1) ima neprebrojivo mnogo elemenata jer vrijedi (0,1)~R (bijekcija sa skupom R).


Ako te zanima više potraži na internetu.

Pa niste mi baš pomogli - ja sam poslao i crtež i pitao sam gde je konkretno
greška a vi mi odgovarate tako da mi se čini kao da crtež niste ni pogledali

Postoje beskonačni skupovi koji se ne mogu bijektivno preslikati ni u skup N, ni u skup R.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Pogledali smo crtež. Nije crtež pogrešan, nego tvoje tumačenje crteža. Ili nisi pažljivo pročitao naše odgovore?

U pravu si Nedeljko. Pokušao sam što više da mu pojednostavim. Tačnija definicija bi bila da je skup neprebrojiv ako nije prebrojiv.

Npr. P(R) ?

Da, P(R) je jedan od primera.



To što skup ima isto elemenata kao njegov pravi podskup ne znači da ima više elemenata od sebe samog.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Ha ha, samo vas gledam.

Naš stari drugar Galet se ponovo javlja, sa njegovim teorijama o pogrešnosti Analize i čitave matematike.

Kako ne shvatate, ne vredi mu objašnjavati, čovek neće da sluša da mu je način razmišljanja pogrešan jer ne sledi principe matematičke logike. Ne hranite trola.

Hvala na "lepim" rečima - nažalost ja nemam pravo da uzvratim istom merom jer će tema
po običaju biti zaključana
Ali ipak se usuđujem da pokažem šta ja mislim o tome u prilogu koji se odnosi na bijekciju
dužina.

Dane, probaj da tačke iz kvadrata preslikaš na duž. Videćeš da ih u kvadratu ima više nego na duži. Da ne govorim o preslikavanju tačaka iz kocke.

Otprilike, dolazimo do pitanja da li je ili ne, tj. da li je duplo vece od ili ne
Da li sam pravilno shvatio dilemu tj. tvrdnju Dane?

Ne znam kako da to uradim, ali mi se čini da na duž možeš da staviš koliko god hoćeš
tačaka jer tačka ionako nije ništa. Ovim ne negiram tačku kao geometrijski objekat
niti njeno začenje u definisanju nekog mesta na duži, ravni ili u prostoru. Možda bi
bolji naziv za tačku bio "mesto", ali to nije bitno

A skontao sam tek pošto sam već poslao poruku - verovatno se radi o tome da se
određene duži kvadrata preslikavaju u samo jednu tačku na duži na koju
preslikavamo

_{[Ovu poruku je menjao galet@world dana 12.12.2009. u 09:07 GMT+1]}

Sasvim!
U konkretnom jednostavnom slučaju radi se o tome da je odnos dužina crvenih i
plavih intervala jednak 2. Upravo taj odnos koji je nezavisan od broja intervala
ostaje nepromenjen i ako je broj intervala beskonačan. Očuvanje odnosa nam
daje mogućnost da nešto saznamo i o beskonačnostima. Očuvanje odnosa je
izuzetan princip koji jednako važi (bar mi se tako čini) za konačne, beskonačno
velike i beskonačno male veličine.
Deljenjem neke duži na beskonačno mnogo jednakih (ili različitih - svejedno)
intervala ne ukida se dimenzija dužine tih intervala jer je obrnutim postupkom
moguće da opet dobijemo tu duž - hoću da kažem na taj način ne možemo
dobiti tačke jer one nemaju dimenziju dužine.

Postoji bijekcija du\i na ceo prostor. .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Ako je tako, Dane - ti si u pravu!

Smem li da pitam u vezi čega je u pravu?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Naravno da smeš. Zašto ne bi smeo?