diferencijalna jednačina

diferencijalna jednačina 30.07.2009. u 15:28 · pre 210 meseci #1

Molio bih da mi neko razjasni sledeće, naime rešavanjem dif. jednačine koja razdvaja promenljive:

$(xy^2+x)dx+(yx^2+y)dy=0$

dođe se do

${1 \over 2} \int {dt \over t} = -{1 \over 2} \int {ds \over s}$ .

E sad, kad sam ja učio integrale, $\int {ds \over s}$ je bilo jednako $lns + C$ , međutim, vidim da se ovde u rešenju pojavljuje ln-ovano C (umesto C). Zbog čega je to tako?

Re: diferencijalna jednačina 30.07.2009. u 15:45 · pre 210 meseci #2

C u resenju neodredjenog integrala je neka konstanta kao sto vec verovatno znas. E sad, posto je C konstantan broj onda on moze biti resenje nekog lnC1. E upravo taj lnC1 se pise jer je lakse raditi kada su svi sabirci sa ln. Nemoj da te buni ovo C1( stavio sam ga da bi video da su to dve razlicite konstante), mozes odmah pisati i lnC jer su i C i C1 nepoznate konstante. Dalje obicno resavas tako sto prebacis taj lnC na levu stranu i napises ga u sledecem koraku kao ln(t/C)=ln(s) itd.

Jesi skapirao? Ajd vidi pa mi javni...

Potpis

iggy

Re: diferencijalna jednačina 30.07.2009. u 17:35 · pre 210 meseci #3

skapirao, hvala puno :)

Re: diferencijalna jednačina 14.10.2009. u 14:11 · pre 207 meseci #4

Zdravo svima.Izvinjavam se sto ovo trazim ali, zamolio bih vas da mi pomognete(resite) oko resenja difr. j-ne oblika: y(x)''+k(x)y(x)=0.

Od linearnih DJ na faxu smo resavali DJ sa konstantnim koeficijentima ili sa funkcionalnim koeficijentima (uz to da znamo koja su partikularna resenja). Medjutim za ovu gore ne znam ni jedno partikularno resenje. Jedino sto mi pada na pamet jeste da nekako pogodim jedno partikularno resenje, a potom Liuvilovom formulom da nadjem drugo, pa zatim metodom varijacija konstanti nadjem opste.

Stvarno bih bio zahvalan ako bi mi neko oko ovoga pomogao, i napisao postupak.

Hvala!

Pozdrav!

Re: diferencijalna jednačina 15.10.2009. u 17:42 · pre 207 meseci #5

U zbirci „Diferencijalne jednačine sa elementima teorije“ od Svetlane Janković i Julke Knežević-Miljanović, str. 177, u zadatku 261. je dat mehanizam kako se jednačina $y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=0$ smenom $t(x)=C\int\sqrt{q(x)}\,\hbox{\rm d}x$ svodi na DJ sa konstantnim koeficijentima.

Mora biti ispunjen uslov $\frac{q'(x)+2q(x)\,p(x)}{\sqrt{q^3(x)}}\equiv\hbox{\rm const}$ , a jednačina postaje $\input amstex \def\dd{\hbox{\rm d}} $$\frac{\dd^2y}{\dd t^2}+\frac{q'(x)+2q(x)\,p(x)}{2C\sqrt{q^3(x)}}\,\frac{\dd y}{\dd x}+\frac{1}{C^2}y=0.$$ \bye$

Re: diferencijalna jednačina 17.10.2009. u 06:34 · pre 207 meseci #6

Hvala Cabo. Za p(x)=0, q(x) ne moze biti proizvoljna parna funkcija, tako da ne mogu resiti onaj moj problem u opstem slucaju.(dobijem da je q(x)=1/(cx^2)).

Re: diferencijalna jednačina 17.10.2009. u 20:13 · pre 207 meseci #7

Još nešto. Zaboravih da navedem da treba da bude $q(x)>0$ za $x\in(a,b)$ . I to je uslov za primenu ovog metoda.

Re: diferencijalna jednačina 18.10.2009. u 03:01 · pre 207 meseci #8

$y''(x)+a(x)y'(x)+b(x)y(x)=f(x)$

Resenje homogenog dela je

$y_H=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$

Resenje nehomogene jednacine trazimo istoj formi, samo proizvoljne konstante zamenimo proizvoljnim funkcijama

$y(x)=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2$

$y'=C_1'y_1+C_1y_1'+C_2'y_2+C_2y_2'$

Zahtevamo da je

$C_1'y_1+C_2'y_2=0$

tj.

$y'(x)=C_1y_1'+C_2y_2'$

$y''(x)=C_1'y_1'+C_1y_1''+C_2'y_2'+C_2y_2''$

I sad izraze za $y.y',y''$ vratis gore u jednacinu. Resenje $y(x)$ koje dobijes je opste resenje.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme