Ne vidim razlog zasto ne bi mogao ali da proverim.
Dakle moze li elemnt skupa biti sam taj skup?
Dakle moze li elemnt skupa biti sam taj skup?
Moze li skup sadrzati samog sebe?
Zaključano
Zakačeno
Ne, skup ne moze sadrzati samog sebe.
Teorija skupova je aksiomatski zasnovana, i na osnovu jedne od tih aksioma se izvodi dato tvrdjenje. Nazalost, zaboravio sam ime te aksiome.
Teorija skupova je aksiomatski zasnovana, i na osnovu jedne od tih aksioma se izvodi dato tvrdjenje. Nazalost, zaboravio sam ime te aksiome.
Ako je jedan skup definisan kao skup svih skupova, po toj definiciji mora sadržati i sebe.
Potpis
Citat:
Ako je jedan skup definisan kao skup svih skupova, po toj definiciji mora sadržati i sebe.
Da, ali time ulazis u paradoks -
def: X skup svih skupova koji nemaju sebe kao podskup
Ako kazemo da X pripada X, to je kontradikcija, jer je X po definiciji skup svih skupova koji ne sadrze sami sebe - a ovde upravo sadrzi samog sebe
Ako kazemo da X ne pripada X, ispada da X zadovoljava definiciju, i X pripada X... sto je opet nemoguce
Mislim da te zanima Russel:
http://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/
http://www.utm.edu/research/iep/p/par-russ.htm
http://www.cut-the-knot.org/selfreference/russell.shtml
Ovakvih paradoksa ima dosta, problem sa skupovima je samo manifestacija osobine svih formalnih logickih sistema.
Potpis
DigiCortex (ex. SpikeFun) - Cortical Neural Network Simulator:
http://www.digicortex.net/node/1 Videos: http://www.digicortex.net/node/17 Gallery: http://www.digicortex.net/node/25
PowerMonkey - Redyce CPU Power Waste and gain performance! - https://github.com/psyq321/PowerMonkey
http://www.digicortex.net/node/1 Videos: http://www.digicortex.net/node/17 Gallery: http://www.digicortex.net/node/25
PowerMonkey - Redyce CPU Power Waste and gain performance! - https://github.com/psyq321/PowerMonkey
Ne vidim vezu s Raselovim paradoksom, voleo bih da je vidim.
Pomenuo sam skup svih skupova, bez neke osobine za selekciju u smislu pripada li neki skup tom skupu, ili ne.
Ako je nešto skup, to znači da pripada ovom skupu.
Opet, ako ovakav skup jeste skup, onda je i svoj element.
Istina, sve miriše na neki paradoks, ali bih voleo da vidim šta ruši postavku.
Pomenuo sam skup svih skupova, bez neke osobine za selekciju u smislu pripada li neki skup tom skupu, ili ne.
Ako je nešto skup, to znači da pripada ovom skupu.
Opet, ako ovakav skup jeste skup, onda je i svoj element.
Istina, sve miriše na neki paradoks, ali bih voleo da vidim šta ruši postavku.
Potpis
Ovo sto je rekao noviKorisnik bi treblo da znaci da moze sadrzati.
Inace, povod sto sam to uopste i pitao jeste upravo taj paradoks. Procitao sam pre dosta vremena o njemu pa nisam bio siguran da li je uopste moguce da skup sadrzi samog sebe.
Sad ostaje pitanje sta matematika "kaze" u vezi ovoga. Koliko znam matematika bi trebala da bude bez ikakvih paradoksa.
Inace, povod sto sam to uopste i pitao jeste upravo taj paradoks. Procitao sam pre dosta vremena o njemu pa nisam bio siguran da li je uopste moguce da skup sadrzi samog sebe.
Sad ostaje pitanje sta matematika "kaze" u vezi ovoga. Koliko znam matematika bi trebala da bude bez ikakvih paradoksa.
Ako u toku nekog racuna dodjes da je podskup jednak skupu onda moze
Citat:
noviKorisnik:
Ne vidim vezu s Raselovim paradoksom, voleo bih da je vidim.
Ne vidim vezu s Raselovim paradoksom, voleo bih da je vidim.
Ivan je samo na drugom primeru pokazao da iz definicije skupa ne sledi da takav skup postoji. Zato tvoja definicija nema nikakve veze sa problemom da li skup moze da sadrzi sam sebe.
Da, Raselov paradoks. On, i slicni, su razlog da se malo ostrije postave temelji teorije skupova, verovatno najznacajnije u Matematici.
Mozda pomogne A7. aksioma regularnosti, u ZF teoriji (Zermelo-Fraenkel) :
(izvor : "Hilbertovi problemi i logika" - Z. Mijajlovic, Z. Markovic i K. Dosen)
Tj. skup x je ili prazan ili postoji element y koga on sadrzi i on je takav da ne postoji z sadrzan i u x i u y.
Ako skup x sadrzi sebe, onda bi svi elementi skupa x bili i elementi njegovog elementa, tj. opet skupa x.
Secam se da je neko pricao i o "skupnim" osobinama i o onima koje to nisu. Pa je receno da osobina "biti element samoga sebe" nije skupna jer bi tvrdjenje da takav skup postoji bilo kontradikcija.
Mozda pomogne A7. aksioma regularnosti, u ZF teoriji (Zermelo-Fraenkel) :
(izvor : "Hilbertovi problemi i logika" - Z. Mijajlovic, Z. Markovic i K. Dosen)
Tj. skup x je ili prazan ili postoji element y koga on sadrzi i on je takav da ne postoji z sadrzan i u x i u y.
Ako skup x sadrzi sebe, onda bi svi elementi skupa x bili i elementi njegovog elementa, tj. opet skupa x.
Secam se da je neko pricao i o "skupnim" osobinama i o onima koje to nisu. Pa je receno da osobina "biti element samoga sebe" nije skupna jer bi tvrdjenje da takav skup postoji bilo kontradikcija.
Citat:
Ne vidim vezu s Raselovim paradoksom, voleo bih da je vidim.
Pomenuo sam skup svih skupova, bez neke osobine za selekciju u smislu pripada li neki skup tom skupu, ili ne.
Ako je nešto skup, to znači da pripada ovom skupu.
Opet, ako ovakav skup jeste skup, onda je i svoj element.
Hmm... kako ne vazi, tvoja definicija nije dovoljna - jer vec imas paradoksalne slucajeve kakve sam ja naveo koji se krse sa definicijom.
Dakle, ona vec pada ako je izaberemo da skup bude "skup skupova koji ne sadrze sami sebe" - znaci ne vazi za svaki skup "svih sadrzecih skupova", jer je u ovom konkretnom slucaju logicka kontradikcija.
Citat:
Tj. skup x je ili prazan ili postoji element y koga on sadrzi i on je takav da ne postoji z sadrzan i u x i u y.
Ako skup x sadrzi sebe, onda bi svi elementi skupa x bili i elementi njegovog elementa, tj. opet skupa x.
Secam se da je neko pricao i o "skupnim" osobinama i o onima koje to nisu. Pa je receno da osobina "biti element samoga sebe" nije skupna jer bi tvrdjenje da takav skup postoji bilo kontradikcija.
Pa da, ideja je da se ogranici nacin odredjivanja pripadnosti i osobina. Mislim da je dosta radjeno na temu osobina skupova,
http://www.utm.edu/research/iep/p/par-russ.htm
Ali jos i dalje postoje debate oko najbolje teorije. U svakom slucaju i ova samo pokriva taj konkretni paradoks uvodjenjem jos nekih pravila :) Ali taj novi sistem ne oslobadja od svojih paradoksa :)
Potpis
DigiCortex (ex. SpikeFun) - Cortical Neural Network Simulator:
http://www.digicortex.net/node/1 Videos: http://www.digicortex.net/node/17 Gallery: http://www.digicortex.net/node/25
PowerMonkey - Redyce CPU Power Waste and gain performance! - https://github.com/psyq321/PowerMonkey
http://www.digicortex.net/node/1 Videos: http://www.digicortex.net/node/17 Gallery: http://www.digicortex.net/node/25
PowerMonkey - Redyce CPU Power Waste and gain performance! - https://github.com/psyq321/PowerMonkey
Citat:
Sad ostaje pitanje sta matematika "kaze" u vezi ovoga. Koliko znam matematika bi trebala da bude bez ikakvih paradoksa.
Ne, na zalost - upravo obrnuto, svaki formalni zatvoreni logicki sistem (principa matematica je jedan od njih) je osudjen bar na jedan paradoks dok ne uvedes dodatna pravila :) Mada su ljudi odavno prihvatili to kao nuzno zlo :)
Potpis
DigiCortex (ex. SpikeFun) - Cortical Neural Network Simulator:
http://www.digicortex.net/node/1 Videos: http://www.digicortex.net/node/17 Gallery: http://www.digicortex.net/node/25
PowerMonkey - Redyce CPU Power Waste and gain performance! - https://github.com/psyq321/PowerMonkey
http://www.digicortex.net/node/1 Videos: http://www.digicortex.net/node/17 Gallery: http://www.digicortex.net/node/25
PowerMonkey - Redyce CPU Power Waste and gain performance! - https://github.com/psyq321/PowerMonkey
Da napomenem da treba razlikovati paradoks i kontradikciju. Znam da znate razliku ali ipak moze da se desi da ne obratite paznju na nju. Aksimoe ne smeju da budu kontradiktorne ali paradoks moze da postoji.
Da li je skup ujedno i svoj element?
Recimo, skup bubasvaba nije bubasvaba (nije svoj clan, nazovimo ovu vrstu U skupovi)
Skup svih skupova sadrzi sebe (jeste svoj clan, nazovimo ovu vrstu V skupovi)
U skupovi: svi skupovi koji nisu clanovi samih sebe
V skupovi: svi skupovi koji jesu clanovi samih sebe
Dakle, skup moze biti ili U tipa, ili V tipa, nikako i jednog i drugog u isto vreme.
Niko nas ne sprecava da definisemo:
Z: skup svih U skupova -- Skup svih skupva koji nisu clanovi samih sebe
Pitanje: da li je skup Z skup U ili V tipa? :-)
Ispada da skup Z nije ni U ni V skup :-) Kakav je to onda skup? :-)
Evo jos malo paradoksa sa skupovima...
1. X je skup svih mogucih netacnih tvrdnji
2. Y je tvrdnja "Tvrdjenje Y je netacno"
Da li je Y clan X ?
Da bi se ovo dokazalo mora se ili dokazati da je Y podskup X, ili da Y nije podskup X - nikako oba tvrdjenja u isto vreme :) Pokusajte :)
Recimo, skup bubasvaba nije bubasvaba (nije svoj clan, nazovimo ovu vrstu U skupovi)
Skup svih skupova sadrzi sebe (jeste svoj clan, nazovimo ovu vrstu V skupovi)
U skupovi: svi skupovi koji nisu clanovi samih sebe
V skupovi: svi skupovi koji jesu clanovi samih sebe
Dakle, skup moze biti ili U tipa, ili V tipa, nikako i jednog i drugog u isto vreme.
Niko nas ne sprecava da definisemo:
Z: skup svih U skupova -- Skup svih skupva koji nisu clanovi samih sebe
Pitanje: da li je skup Z skup U ili V tipa? :-)
Ispada da skup Z nije ni U ni V skup :-) Kakav je to onda skup? :-)
Evo jos malo paradoksa sa skupovima...
1. X je skup svih mogucih netacnih tvrdnji
2. Y je tvrdnja "Tvrdjenje Y je netacno"
Da li je Y clan X ?
Da bi se ovo dokazalo mora se ili dokazati da je Y podskup X, ili da Y nije podskup X - nikako oba tvrdjenja u isto vreme :) Pokusajte :)
Potpis
DigiCortex (ex. SpikeFun) - Cortical Neural Network Simulator:
http://www.digicortex.net/node/1 Videos: http://www.digicortex.net/node/17 Gallery: http://www.digicortex.net/node/25
PowerMonkey - Redyce CPU Power Waste and gain performance! - https://github.com/psyq321/PowerMonkey
http://www.digicortex.net/node/1 Videos: http://www.digicortex.net/node/17 Gallery: http://www.digicortex.net/node/25
PowerMonkey - Redyce CPU Power Waste and gain performance! - https://github.com/psyq321/PowerMonkey
Pa ovde je koliko znam ona fora da Y nije iskaz jer su za definicuju iskaza uzeli da mora da bude odredivo da li je tacan ili ne (sto ovde nije slucaj - nema sanse da odredis da li je Y tacno ili ne).
Citat:
Pa ovde je koliko znam ona fora da Y nije iskaz jer su za definicuju iskaza uzeli da mora da bude odredivo da li je tacan ili ne (sto ovde nije slucaj - nema sanse da odredis da li je Y tacno ili ne).
Tacnost nekog iskaza zavisi od pravila sistema (recimo aksioma, drugih tvrdjenja i sl). Primer sa Y skupom je logicki kontradiktoran odmah, medjutim prvi primer sa U i V tipovima skupova (kako sam ih ja nazvao) postaje paradoks tek kada se pokusa definicija Z skupa koji je skup svih U skupova.
Problem je sto u svakom sistemu koji je kompletan mozes naleteti na bar jedan ovakav iskaz. Ovo je daleko veci problem nego sto izgleda na prvi pogled - onaj primer za "skup svih skupova" je samo jedna manifestacija istog problema.
Za ljudski mozak (inteligenciju) ovo nije neki problem - jer covek vrlo lako uvidja da je nesto neresivo i uvodi nova pravila - dok kompjuterski program nije obdaren "izlazenjem iz sistema" :) off-topic, ali citao sam negde o nekom sistemu procene istinitosti na fuzzy logici koji se bas bavi efektnim zaobilazenjem beskonacnih rekurzija kao sto je ona sa tvrdjenjem Y :)
Potpis
DigiCortex (ex. SpikeFun) - Cortical Neural Network Simulator:
http://www.digicortex.net/node/1 Videos: http://www.digicortex.net/node/17 Gallery: http://www.digicortex.net/node/25
PowerMonkey - Redyce CPU Power Waste and gain performance! - https://github.com/psyq321/PowerMonkey
http://www.digicortex.net/node/1 Videos: http://www.digicortex.net/node/17 Gallery: http://www.digicortex.net/node/25
PowerMonkey - Redyce CPU Power Waste and gain performance! - https://github.com/psyq321/PowerMonkey
Hm, malo smo se zaleteli.
Sto se tice ovih primera sa skupovima, data aksioma izbacuje mogucnost da skup sadrzi sebe. Dalje, ne moze se skup formirati tako sto se napravi iskaz koji zovemo, recimo, osobina P(x), pa kazemo da je X = {x|P(x)}.
Prvo, osobina P mora biti takva da se za svako x moze utvrditi da li vazi P(x) ili ne (to je vec Shadowed napomenuo). Drugo, familija formirana na ovakav nacin (tj svi koji imaju osobinu P) mora zadovoljavati aksiome teorije skupova, inace ne mozemo reci da je skup.
Citat (isto kao gore):
"... U takvoj situaciji javio se Ernst Zermelo 1908. godine jednim novim pristupom. Sustina njegove ideje je da skupovi koji se javljaju u matematici nisu zasnovani na intuiciji o podeli univerzuma svih mogucih objekata na dva dela (skup svih objekata koji imaju zadato svojstvo i skup svih onih koji ga nemaju), vec na predstavi o postepenoj, kumulativnoj izgradnji skupova polazeci od nekih unapred zadatih objekata - urelemenata (praelemenata), pri cemu neki skup moze kao elemente sadrzati samo skupove koji su izgradjeni pre njega. ... Ubrzo se pokazalo da urelementi nisu neophodni i da se svi skupovi koji se javljaju u matematici mogu izgraditi polazeci od praznog skupa."
(bold i underline su moji)
Sto se tice ovih primera sa skupovima, data aksioma izbacuje mogucnost da skup sadrzi sebe. Dalje, ne moze se skup formirati tako sto se napravi iskaz koji zovemo, recimo, osobina P(x), pa kazemo da je X = {x|P(x)}.
Prvo, osobina P mora biti takva da se za svako x moze utvrditi da li vazi P(x) ili ne (to je vec Shadowed napomenuo). Drugo, familija formirana na ovakav nacin (tj svi koji imaju osobinu P) mora zadovoljavati aksiome teorije skupova, inace ne mozemo reci da je skup.
Citat (isto kao gore):
"... U takvoj situaciji javio se Ernst Zermelo 1908. godine jednim novim pristupom. Sustina njegove ideje je da skupovi koji se javljaju u matematici nisu zasnovani na intuiciji o podeli univerzuma svih mogucih objekata na dva dela (skup svih objekata koji imaju zadato svojstvo i skup svih onih koji ga nemaju), vec na predstavi o postepenoj, kumulativnoj izgradnji skupova polazeci od nekih unapred zadatih objekata - urelemenata (praelemenata), pri cemu neki skup moze kao elemente sadrzati samo skupove koji su izgradjeni pre njega. ... Ubrzo se pokazalo da urelementi nisu neophodni i da se svi skupovi koji se javljaju u matematici mogu izgraditi polazeci od praznog skupa."
(bold i underline su moji)
Citat:
darkosos: 
, onda je y skup. Ako je x skup svih skupova, njemu pripada y jer je skup. Kako je y prazan, njemu ne pripada ni jedan element tako da ne postoji z takav koji je element od x i y. Sledi da je x saglasan s ovim aksiomom!Možda treba:
(za svaki y)?Potpis
prazan skup sadrži sam sebe :)
Potpis
Ne, ne moze 
da se zameni sa 
jer bi time izbacio sledecu, potpuno bezopasnu, mogucnost :
x = {1, {1}}, y = {1}, z=1;
y je element skupa x, a z pripada i x i y.
Uostalom, time bi tvrdio i da nepraznom skupu pripada sve ostalo.
Mozda eventualno da se doda da y nije prazan skup?
da se zameni sa jer bi time izbacio sledecu, potpuno bezopasnu, mogucnost :x = {1, {1}}, y = {1}, z=1;
y je element skupa x, a z pripada i x i y.
Uostalom, time bi tvrdio i da nepraznom skupu pripada sve ostalo.
Mozda eventualno da se doda da y nije prazan skup?
Citat:
cedomir:
prazan skup sadrži sam sebe :)
prazan skup sadrži sam sebe :)
Netacno!
Da bi skup mogao da sadrzi sam sebe mora makar jedan od elemenata da bude skup.
Evo ti npr jedan skup koji sadrzi i prazan skup kao element: {1, 5 , {}, 7, 9}