Najlepši zadaci

pa, da su logicari, ogledali bi se u vodi, i time zakljucili boju svojih ociju. znaci svi bi napustili ostrvo istog dana.

@Tea94
Pa ok, ali rjesenje je cisto logicko, znaci nije u pitanju neka caka tipa gledanje odraza u vodi, ili da izvade jedno oko i sl.

@braker
To jeste rjesenje, ali ajde ga malo obrazlozi. Ako ih je 5, kako neko moze posle 4 dana da zakljuci da ih ima 5 ukupno?

---

Treba poći sa razmatranjem šta bi svaki od njih zaključio da ih je po jedan plavi,
jedan zeleni +guru.

A onda razmotriti kako bi razmišljali da ih je 2p+2z+g.

Zatim za slučaj 3p+3z+g.

------------
Uočiti pravilo i to je to.

---

A da li smeju da se dogovaraju, na primer, za tu priliku kad Guru dobije reč da se dogovore da svi koji vide plavu boju zažmure.
Budući da svi ne mogu istovremeno zažmuriti mora jedan ostati poslednji i taj više ne vidi nikakvu boju osim boju Guruovih očiju
a one nisu plave. Prema toma taj čovek gleda ima plave oči jer Guru ne vidi nikom oči osim tom poslednjem čoveku koji gleda
i koji onda zna kakve su mu oči

Rešenje koje je ponudio braker, a razjasnio zzzz, zaista izgleda logično.

Međutim, ako bih ja to posmatrao na ovaj način:
Svaki od 100 plavookih ostrvljana vidi 99 plavookih, pa samim tim zna da Guru vidi ili 99 ili 100 plavookih. Prema tome, to što je Guru rekao "Vidim nekoga sa plavim očima" za njih ne predstavlja ama baš nikakvu novu informaciju.
Gde ja, sa ovakvim razmišljanjem, pravim grešku?

Moras se postaviti u ulogu savrsenog ostrvskog logicara i poci od pretpostavke da imas plave oci, nadajuci se da je tacna :-)

---

Kada je guru rekao "vidim nekog sa plavim očima" tada je svaki od onih 100 sa plavim očima
pomislio:

1)Da nije ovih prokletih 99 koje vidim sa plavim očima znao bih da sam taj ja i noćas bih otputovao.
Svaki od ovih sa zelenim očima je slično mislio samo što je vidio pred sobom prokletih 100 sa plavim
očima.(Ostavimo zasad zelene i njihov način razmišljanja jer su u nešto težoj situaciji.)

2)Svi dalje razmišljaju ovako:Ma i kad bih vidio jednog plavog lako bih.Jer ako sam ja zelen, on bi znao
da je jedini plav pa bi noćas otišao, a ja bih sutra bar znao da sam zelen.Ali ako ne otputuje to
je samo zato što sam i ja plav.Tada bih ja drugu veče otišao na brod, a to bi uradio i ovaj drugi
sa plavim očima jer zaključuje isto.

3)Kad bi umjesto ovih prokletih 99 bila samo dva plava ja bih opet imao šansu.Pustio bih da
razmišljaju kao u tački 2) pa ako odu drugu veče onda sam ja nažalost zelen kao i svi koji su
ostali.Ali ako nisu otišli to znači da svaki od njih vidi isto kao ja dvojicu plavih.Ja, i njih dva bi
treću veče išli na brod.

4)Ni za viđena tri (umjesto 99) sa plavim očima nije problem.Pustim da misle kao pod 3) pa ako
treću veče odu nek im je sretno.A ako ne odu pakujem se i ja s njima četvrtu veče jer sam plav.

------------- (malo odmora pa ćemo dalje do 100) ---------------

n)Ako bi ih umjesto 99 sa plavim očima bilo manje, recimo (n-1), pustio bi ih da razmišljaju kao u
tački (n-1), pa ako ne otputuju (n-1) veče, pakujem se i n tu veče ide svih nas n komada.

------------- (da preskočimo malo ovih tačaka radi štednje?) ----------------

100)Ako ih vidim 99 sa plavim očima pustio bi ih da misle kao u tački 99) (nažalost preskočena
ali zna se šta bi pisalo!), pa ako ne otputuju 99-tu veče idem sutra i ja.Nas 100 odosmo 100-tu
veče.

Da ne zaboravimo zelene koji su ostali jer su na neki način izmanipulisani od gurua.Svaki od njih
100 je razmišljao na isti prethodni način.čekao 100 ti dan nadajući se da te večeri neće plavi otići
već će se i on priklučiti 101-vu veče i ostaviti preostalih 99 zelenih koje vidi.


Ovaj zadatak, ako je tačno riješen, otvara jednu misterioznu nejasnoću koju je spomenuo Danijel011.Kakvu to moć ima GURU.Svi su znali (i plavi i zeleni) da će doći i reći "vidim tu i tu boju očiju".Svi vide i plave i zelene oči oko sebe, a znaju i da GURU to vidi.Može lupiti šta hoće,vrlo važno i ko ga šiša šta je rekao,
jer to nije ni za koga novost vrijedna pažnje.Kako je uspio bezveznom izjavom upropastiti zelenooke?
Ko zna objašnjenje?

---

Hmmm, izgleda zanimljivo ovo sa plavookima i zelenookima

pozdrav
Marko

Ja ne znam objašnjenje, ali me ovaj zadatak dosta podsetio na zadatak sa osuđenikom, koji je bio postavljen na istoj ovoj temi pre tačno dve godine.

Radi se o tome, da je zatvorenik, na isti način kao u zadatku sa ostrvljanima, razmišljao induktivnim putem. To ga je dovelo do pogrešnog zaključka da neće biti pogubljen. Kasnije sam tražio na Googletu taj zadatak, ne bih li saznao gde je greška u takvom razmišljanju, ali sam našao samo odgovor kako taj zadatak spada u tzv. "nerešive" zadatke (u smislu, da niko do sada nije ponudio adekvatan odgovor) i da je to dobar primer kako induktivno razmišljanje, iako je svaki korak sâm po sebi korektan, u celini može biti pogrešno.

Možda je to upravo slučaj i u našem zadatku sa ostrvljanima, a da tačan odgovor ipak glasi da niko ne napušta ostrvo?

Predstavlja novu informaciju. Zamislimo, pojednostavljenja radi, da umesto s brojem 100 radimo s brojem 2. Onog momenta kada guru izgovori svoju rečenicu, svi ostrvljani imaju novu informaciju da svi ostrvljani znaju za postojanje osobe s plavim očima. Drugim rečima, i pre nego što je guru konstatovao da na ostrvu postoji plavooka osoba, svi su to znali (dve plavooke osobe su primećivale jedna drugu, svi ostali su primećivali njih obe), ali nisu znali da li i ostali raspolažu tom informacijom (a od momenta guruovog govora to postaje fakat, jer je on upravo to podelio sa svima).

---

Da, sve to što si napisao je sasvim tačno za slučaj sa dve plavooke osobe, koji si razmatrao. Međutim, u slučaju 100 plavookih osoba, tvoj drugi deo rečenice

prestaje da bude tačan, jer tada svaki ostrvljanin zna da i svi ostali vide bar 98 plavih, tj. da raspolažu tom informacijom.

Ja podržavam mišljenje:



A mislim da Bojan griješi jer misli da zna šta će GURU tada reći:



Sama riječ GURU (koji nije dao baš nikakvu novu informaciju za naš
slučaj 100P+100Z) u našu podsvjest servira jednu dogmu.Njegovu izjavu: "ja vidim plave oči" instiktivno smatramo nepromjenjivom istinom u koju ne smijemo sumnjati i preispitivati.A treba.
Ne mislim da on laže, ali odakle nam zaključak da će on baš takvu rečenicu uvjek reći.To je ona situacija na početku kad plavi misli da kad bi uklonili onih 99
ostalih sa plavim očima, nebi mu bilo teško pogoditi da je on upravo taj plavi.
Dozvolimo da GURU može u toj situaciji izreći zelenu boju, jer ako ih je 101 takvih
moraće da ne bi lagao.A kako onda dalje?

Rješenja izgleda nema pa su na žalost još uvijek svi zarobljeni na onom ostrvu.

---

Ja ne shvatam bas najbolje to oko gurua. Guru samo jednog dana dodje i obnaroduje da vidi nekog s plavim ocima ili svakog dana kaze da li vidi ili ne vidi? Ako je ovo prvo slucaj, i dalje ne uspevam da vidim kako ta informacija koristi ostrvljanima, a ukoliko je ovo drugo, zadatak je lak... Svakog dana je samo jedan ostrvljanin okrenut licem guruu, on sazna svoju boju ociju i uvece ide.

Ali ja uzimam u obzir mogucnost da sam bas ja taj koga je guru video, i znam da u slucaju da imam plave oci, sigurno napustam ostrvo. U zadatak je trebalo uvrstiti sankcije za pokusaj ukrcavanja u slucaju izvodenja pogresnog zakljucka - recimo, odrubljivanje glave :-) Tada, pretpostavka na osnovu izjave gurua ima tezinu, i drugacijim pristupom logicar se igra s' glavom :-)

---

Ja licno mislim da jedino prihvatljivo to da se ogledaju u vodi, ima vise razloga za to:
1-Savrseni logicari
2-Zasto su bas na ostrvu ( ostrvo je kopno okruzeno VODOM ) zasto nisu u sumi, pustinji......
@Peka daj odgovor......?!

---

Kao sto sam vec rekao u prethodnoj poruci, odgovor nije da su se ogledali u vodi, i slicni trikovi, nego je u pitanju cisto logicko razmisljanje i zakljucivanje ostrvljana. Znaci, posmatramo jednu idealizovanu situaciju.

Odgovor koji je zzzz dao je u potpunosti tacan, a napisacu i malo drugacije rjesenje koje ce, nadam se, dati odgovor na pitanje: "Koju novu informaciju je Guru dao?". Problem je dosta tezi nego sto se cini na prvi pogled, jer nije samo bitno sta neko zna, nego sta neko zna o tome sta neko drugi zna ("ja znam da ti znas"), i tako 99 puta u dubinu ("ja znam da ti znas da on zna", itd).

Osoba sa plavim ocima (bilo koja posto su svi ekvivalentni), zvacemo je Broj1, moze da pretpostavi jedan od dva slucaja:
1. da ima plave oci
2. da nema plave oci
(ipak je Broj1 savrseni logicar )
Ako je tacno pod 1. onda Broj1 ide sa ostrva, ali posto mora biti siguran, mora da razmotri drugu mogucnost, a to je da nema plave oci, dakle da ima 99 osoba sa plavim ocima. Sada Broj1 posmatra proizvoljnu osobu iz te grupe, zvacemo je Broj2, i pretpostavlja tok razmisljanja te osobe.

Sada taj "zamisljeni" Broj2, razmatrajuci 2 opcije na isti nacin, isto mora da pretpostavi da nema plave oci, sto znaci da ima 98 osoba sa plavim ocima, pa pretpostavlja tok razmisljanja neke od tih 98 osoba (Broj3). E sad, ovo razmisljanje Broja2 je naizgled besmisleno, jer svi na ostrvu znaju da postoji bar 99 osoba sa plavim ocima. Ali, radi se o hipotetickom razmisljanju neke osobe u slucaju da Broj1 nema plave oci, sto znamo da nije tacno. Znaci, niko na ostrvu nece ovako razmisljati (kao Broj2), ali Broj1 zna da bi neko tako razmisljao u slucaju da on nema plave oci, sto je opcija koju mora da razmotri. I sva razmisljanja u nastavku su hipoteticka, tj. nece se nikad desiti, jer predstavljaju razmisljanja koja polaze od pogresnih pretpostavki (mi znamo da su pogresne, ali osobe koje razmisljaju o njima ne znaju).

Broj3 sada "vidi" 97 osoba sa plavim ocima, i pretpostavlja za sebe da nema plave oci, dakle ukupno je 97 plavih. Ovaj proces se dalje nastavlja (dakle, smanjuje se pretpostavljenih broj osoba sa plavim ocima), dok se ne dodje do poslednje osobe (u tom trenutku, onaj ko nju posmatra, Broj99, pretpostavlja da ima samo jedna osoba sa plavim ocima). Poslednja osoba, Broj100 nema 2 mogucnosti kao svi ostali, jer je Guru rekao da ima bar jedna osoba sa plavim ocima, a to mora biti on. (Dakle, ovde je bitna Guru-ova izjava).

Medjutim, posto Broj100 ne ode prve veceri, onda Broj99 ne moze da za sebe pretpostavi da nema plave oci, tj. mora da pretpostavi da imaju 2 osobe sa plavim ocima: on (Broj99) i Broj100. Ali, posto posle 2 dana, njih dvojica ne odu sa ostrva, Broj98 takodje ne moze da pretpostavi da nema plave oci, dan kasnije to shvata i Broj97, i tako dalje, sve dok posle 100 dana to ne shvati Broj1, koji onda odlazi sa ostrva. Posto sve osobe sa plavim ocima razmisljaju kao Broj1 (ali sada stvarno, ne hipoteticki), svi plavi odu sa ostrva posle 100 dana.


Drugi nacin da se posmatra zasto je Guru-ova izjava bitna (opet, ovo je razmisljanje neke od "plavih" osoba"):
1. Znam da je na ostrvu bar 99 osoba sa plavim ocima.
2. Znam da svako zna da je na ostrvu bar 98 osoba sa plavim ocima. (Posto ja mozda nemam plave oci)
3. Znam da svako zna da svako zna da je na ostrvu bar 97 osoba sa plavim ocima. (uff )
...
99. Znam (da svako zna)x98 da je na ostrvu bar 1 osoba sa plavim ocima.
100. Ali NE ZNAM (da svako zna)x99 da je na ostrvu bar 1 osoba sa plavim ocima.

E sad, kad je Guru rekao da postoji bar 1 osoba sa plavim ocima, to su svi vec znali. Ali je on isto tako ubacio tu 1 osobu u sve nivoe razmisljanja (ne znam kako drugacije da se izrazim), sto je, od ovih nabrojanih izjava, imalo uticaja samo na 100-tu, koja je uticala na 99-tu (koja se mijenja u "...bar 2 osobe sa plavim ocima"), sto se dalje "odmotava" do prve koja postaje:
1. Znam da je na ostrvu bar 100 osoba sa plavim ocima. A posto ih vidim 99 ja moram biti 100-ta.

Ufff, valjda ce nekome biti jasno (vise nisam siguran ni da li je meni jasno ).

P.S. Ono sto je jos bitno u postavci zadatka je da nije dovoljno reci da su svi savrseni logicari. Treba reci i da svi znaju da su svi savrseni logicari. I da svi znaju da svi znaju da su svi savrseni logicari. I da... Shvatili ste, tako 99 puta. Ma, ludilo...

---

Ne moramo mi da zakljucujemo sta ce Guru reci. Guru je rekao to sto je rekao, to je u postavci zadataka (a zasto je to rekao? ja mislim da bi nas malo za*ebavao ). Mogao je da kaze bilo sta, npr. isto to samo za zelene, onda bi citava ova diskusija bila ista, ali samo za zelene umjesto plavih.



Da, ovo je tacno, ali ne znam zasto mislis da su izmanipulisani, ja mislim da je Guru onu recenicu izjavio "najdobronamjernije"

---

@Daniel 011, zzzz:

Primer sa dve osobe sam naveo kako bih ilustrovao da nova informacija nije nužno postojanje osobe s plavim očima, već se iz Guruove rečenice iščupati još saznanja. Mislio sam da će, ako se to usvoji, biti lako nadograditi moj primer do sto osoba (ili koliko ih god ima). No, ako nisam bio dovoljno jasan, pokušaću da se dopunim.

Pretpostavimo da postoje tri zelenooke osobe. Tada, jasno, nova informacija nije „svi ostrvljani znaju za postojanje osobe s plavim očima“ (što ste obojica ispravno primetili, ali to nisam ni pokušao da kažem). Međutim, i dalje svim ostrvljanima guruova rečenica daje novu informaciju, sledeću: „svi ostrvljani znaju da svi ostrvljani znaju za postojanje osobe s plavim očima“.

Jasno je zašto je ova rečenica tačna informacija. Pogledajmo zašto je nova. Vratimo se u vreme pre guruovog govora, i neka su zelenooke osobe Aca, Bane i Crni. Aca razmišlja ovako: „Moguće je da ja imam zelene oči. U tom slučaju bi Bane, videvši samo još Crnog s plavim očima, razmišljao ovako: ’Ukoliko ja imam zelene oči, Crni ne bi znao postoji li na ostrvu osoba s plavim očima’.“ Dakle, Aca ne može biti siguran da svi ostrvljani znaju da svi ostrvljani znaju za postojanje osobe s plavim očima, jer je Bane u ovom slučaju kontraprimer (budući da Bane ne zna da li svi ostrvljani znaju za postojanje osobe s plavim očima, konkretno ne zna da li Crni zna za postojanje osobe s plavim očima).

Da li je ovim razjašnjeno šta je nova informacija ukoliko postoje tri plavooke osobe? Ako jeste, odavde bi trebalo da stvarno bude jednostavno uopštiti celu priču do 100 osoba s plavim očima (u informaciju iz ovog primera samo treba ubaciti „...da svi ostrvljani znaju...“ još 97 puta, i to će biti nova informacija ukoliko ima 100 osoba s plavim očima).

Nigde nisam pretpostavljao da se unapred zna šta će guru reći (na šta se već peka osvrnuo).

---

@peka, Bojan Basic

U pravu ste. Hvala obojici na iscrpnom objašnjenju.

Stvarno jedan od najinteresantnijih zadataka koje sam video.

ovo je zadatak postavljen na prijemnom za OKSFORD. Ko ga resi-upisuje se odma.
1=5
2=25
3=325
4=4325
5=?