[Zadatak]: Tri kockara sa novčićima

Hvala srki - najzad i ja da shvatim

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Sada nesto petljam oko onog jednakostranicnog trougla i mislim da je uz pomoc njega moguce doci do resenja. Ali i pored toga imam jos jedan rezultat koji nekome moze pomoci. Sveo sam prethodno setanje broja novcica na najobicniji trodimenzionalni random walk.

Neka su , i trenutna novcana stanja prvog, drugog i treceg igraca. Uvedimo nezavisne promenjive , i tako da je , i . Primetimo da ako povecamo jednu nezavisnu promenjivu za jedan da ce nam se odgovarajuce stanje jednog igraca povecati za dva a druga dva ce se smanjiti za 1. Na pocetku je . U svakom koraku ili se ne dogodi nista ( sanse) ili se jedna promenjiva poveca za 1. Kod ovoga je super sto su x, y i z potpuno nezavisne promenjive. Taj random walk je ogranicen sa sledece 3 ravni:
,

i
.
Sada treba resiti ovaj random walk i mozda vec postoje neke teorije u vezi sa tim ali ja se prvo bacam nazad na trougao.

Kritičan je igrač sa najmanje novčića "m" pa da vidimo kakve su mu šanse.
Odbacimo najprije sve jalove igre.Dodaćemo to na kraju priče.
Šansa da se igra najbrže završi je da ovaj prvi zaredom stalno gubi.
Tu vjerovatnost možemo izračunati.A možemo izračunati i vjerovatnost
da nije izgubio u tom " m" koraku.Ako nije izgubio u tom koraku neće
sigurno ni u sledeća dva.Može izgubiti tek u "m+3" koraku.
Šansa da se i ovdje provuče je ista kao i prethodna!
Umnožak ovih šansi je vjerovatnost da nije upao ni u "m+3" koraka.
Itd itd sve dok ne postane kritičan i sledeći igrač.Tada moramo množiti
i njegovu šansu da nije upao.Tj da nije ni jedan od njih upao.
Idemo dalje od barijere do barijere.Kad stignemo do trećeg igrača uključimo
u množenje i njegovu šansu da nije upao.Tjeramo tako dok umnožak
ne bude manji od 0.5.Taj broj bacanja pomnožimo sa 4/3.
(Izvinjavam se što sam koristio malo matematičkih izraza.Drugi put hoću.
Kritična izjava je data bold.Meni tako ispada,a možda sam i promašio?)

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Evo koja je bila moja prva ideja u vezi sa ovim zadatkom.
Na osnovu one rekurzije, igra bi se mogla opisati sledećim beskonačnim regularnim grafom stepena 6 :



Koordinate čvorova govore o relativnoj promeni u broju novčića u odnosu na početno stanje.

Zatim sam nameravao da nekako iskoristim onu rek. relaciju, ali napisanu malo drugačije:



I hteo sam da to sumiram po svim mogućim trojkama , uzimajući naravno za . Međutim, nešto se baš nisam snašao u nastavku

Još nešto, neka su početne vrednosti onda mi se čini da se sa slike jasno vide "linije" oblika , i (u dodiru sa njima dolazi do prekida igre) pa bi možda neko mogao to da upotrebi

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Za X₁₂₃ (l=3, m=2, n=1) je lako naci raspodelu i ocekivanje



verovatnoca svakog sledeceg ishoda je "puta 2 i kroz 4"...

Imam program koji racuna raspodele za bilo koji X_lmk

Za X₃₃₃ lako dobijam raspodelu



ali tu vec nije lako naci zakonitost da bih "analiticki resio ocekivanje.
Imam takodje program koji racuna probliznu vrednost za bilo koji X_lmk sa tacnoscu na nekoliko decimala.

Pokusao sam da iskoristim Uranium/Srki-jevu rekurentnu vezu.
Lako dobijam E_a11, E₂₂₂, E₃₂₁.

Vec za E₃₃₃ imamo:

3E₃₃₃ - 3E₅₂₂ = 4

Ako bi nasli E₅₂₂ lako bi nasli E₃₃₃

Evo raspodele za X₅₂₂



mozda nekom padne na um kako da nastavi niz

7, 14, 21, 70, 245, 672, 1771, 5012, ...

Potpis

tisuću lijepih žena posve nagih

Potražio sam nešto o tom nizu na sajtu On-Line Encyclopedia of Integer Sequences - ali nema ništa.

Poslao sam i pitanje jednom od njihovih robota, a šta mi je odgovorio pogledajte u prilogu

_{Jedna njegova procena predviđa nastavak: [14427, 40642, 113729, 320250, 904057, 2547524]}

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

To je to !!!

Ja sam imao te brojeve ali sam ih sacuvao za test. Hajde sad da vidimo sta cemo sa tim

Potpis

tisuću lijepih žena posve nagih

@peddja_stankovic:

Pa predlažem da odradiš to isto za još nekoliko vrednosti pa da šalješ robotu na svakih sat po jednu sekvencu (postoji ograničenje 1 niz/sat sa iste adrese). Naravno, možemo to da prevaziđemo ako se lepo organizujemo. Takođe mogli bi da ga pitamo i za druge slučajeve - ali mislim da je već i ovo u neku ruku varanje

@srki:

Na istom sajtu ima i dosta stvari u vezi sa random walk-om, pa možda iskopaš nešto korisno...

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Nisam se bas nesto mnogo trudio da provalim ali ako je tebi jasno kako da iz

"
-x+1+(x^3-3/7*x^2+3/7*x-1/7)*F(x) = 0

If this is correct the next 6 numbers in the sequence are:

[14427, 40642, 113729, 320250, 904057, 2547524]
"

dobijem taj niz?

Potpis

tisuću lijepih žena posve nagih

U pitanju je generativna f-ja.

Iskažeš ono , a onda lepo to razviješ u Maklorenov red - koeficijenti koje dobiješ su upravo članovi tvog niza.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Da, to lepo funkcionise









Ostaje samo sitnica da sumiram ovej red





Dao sam ga MCAD-u ali mu se nije svideo. Pokusacu malo "na ruke".
Mislim da bi ovim putem dosli do znacajnih informacija.

Potpis

tisuću lijepih žena posve nagih

Bice da je E333 = 36/7
E441 = 64/21
E522 = 80/21

Trebace mi malo vremena da postujem resenje

Potpis

tisuću lijepih žena posve nagih

Malo sam iskompilirao ideje koje su se pojavile.
Srkijeva rekurencija i uranijumov graf. Kad dodamo malo 3D dolazimo do novih ideja.
Na slici levo, imamo sve moguce ishode za slucaj l=m=n=3. Bela kockica nalazi se na (3,3,3)
u Oxyz. To je pocetno stanje. Mozemo primetiti da broj ishoda koliko ko moze imati para uopste
nije veliki. Moguce su samo



(3,3,3) - bela kockica,
(5,2,2), (2,5,2), (2,2,5) - plave kockice,
(4,4,1), (4,1,4), (1,4,4) - zelene kockice,
(7,1,1), (1,7,1), (1,1,7) - zute kockice
i crvene kockice koje upadaju u koordinatne ravni - tad se igra zavrsava
(9,0,0), (0,9,0), (0,0,9), (6,3,0), (3,6,0), (6,0,3), (3,0,6), (0,6,3), (0,3,6).

Vidimo da sve kockice leze u jednoj ravni, sto je i logicno jer je u svakom trenutku zbir novcica
jednak 9. Sledi da su moguci ishodi na ravni x+y+z=9. (Mozemo vec unapred zakljuciti kad
budemo radili opsti slucaj da svi ishodi leze u ravni x+y+z=l+m+n.
Meni je zanimljivo to da postoje i neki ishodi ciji je zbir 9 a oni nisu u igri (na primer (1,2,6)).
Ispada da je ovo random walk ali ne po nekom "kompaktnom" i kolicinom para ogranicenom 3d prostoru nego po nekom podskupu restrikovanim posebnim uslovima (tek treba da provalim sve
detalje).

Kasnije u tekstu cu poistovetiti srodne ishode. Na primer "(5,2,2), (2,5,2), (2,2,5) - plave kockice" ce mi biti dogadjaj 522 i slicno tako da na kraju imam samo dogadjaje
333, 522, 711, 411, 630, 900.

Obratimo paznju na denu sliku. Odavde se vidi koji dogadjaj sledi iz kog dogadjaja.

Sada ide glavno.

Na osnovu ovog 3d grafa trebalo bi da je intuitivno jasno da vaze sledece relacije:





Dalje je




Vec smo dobili da je




Resavanjem ovog sistema dobijamo





sto se potpuno slaze sa simulacijama koje sam do sada obavio.

Cak vise me raduje da se metod moze lako uopstiti (bar se nadam).

Prica sa generatorskom funcijom je moram priznati za mene nesto sasvim novo ali mi deluje uzasno interesantno jer sam citao malo o tome. Na zalost nisam uspeo resiti neke probleme u MCAD-u pa sam se vratio na stre ideje i za sada izgleda da nisam pogresio.

Mala pauza i onda cu pokusati da uopstim proceduru. Ako je jos neko zainteresovan da pomogne, uvek je dobrodosla neka nova ideja.

Potpis

tisuću lijepih žena posve nagih

Resavanjem sistema (vidi sliku)



4E₄₄₄=E₄₄₄+3E₆₃₃+4
4E₆₃₃=E₆₃₃+2E₅₅₂+E₈₂₂+4
4E₅₅₂=E₅₅₂+2E₇₄₁+E₄₄₄+4
4E₈₂₂=E₈₂₂+2E₇₄₁+E₁₀₁₁+4
4E₇₄₁=E₇₄₁+E₆₃₃+E₉₃₀+E₆₆₀+4
4E₁₀₁₁=E₁₀₁₁+2E₉₃₀+E₁₂₀₀+4
E₉₃₀=0
E₆₆₀=0
E₁₂₀₀=0

dobija se

E₄₄₄=128/15
E₆₃₃=36/5
E₅₅₂=20/3
E₈₂₂=64/15
E₇₄₁=56/15
E₉₃₀=0
E₁₀₁₁=4/3
E₆₆₀=0
E₁₂₀₀=0


Razmak izmedju svakog ishoda je koren iz 6.
Sa slike vidimo da nisu svi ishodi "dvosmerni"

Potpis

tisuću lijepih žena posve nagih

malo sam bio odsutan, jel moze da se dobije resenje zadatka

Potpis

tisuću lijepih žena posve nagih

Evo jednog rešenja u prilogu - nadam se da je postavljač zadatka imao u vidu neki drugačiji pristup ... ;)

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

pa da, to je to. sad proveravam sve ove pojedinacne rezultate koje sam dobio ali nisam dobio opstu formulu

dakle E(l,m,n)=4lmn/[3(l+m+n-2)]

pogledacu ovih dana kako je resen problem. verujem da bi ja kad tad dosao do istog nego sam se smorio a i radio sam nesto drugo ovih dve godine. hvala za post

Potpis

tisuću lijepih žena posve nagih