Pomoc oko zadatka!

Pomoc oko zadatka! 30.08.2008. u 15:15 · pre 221 mesec #1

ZAD
Hamiltonijan cestice mase $m$ koja se krece u dvodimenzionoj oblasti

$0\leq y\leq l,-\infty<x<\infty$ ima oblik

$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2})+\frac{1}{2}m\omega^2x^2$

gde je $\omega$ konstanta. Ako se cestica nalazi u stanju

$\psi=Ay(y-l)e^{-\alpha x^2/2}(1+x\sqrt{2\alpha})$

gde je $\alpha=\frac{m\omega}{\hbar}$ , a $A$ konstanta koju treba odrediti, izracunati:

a) verovatnocu da se prilikom merenja energije cestice dobije osnovna energija;

b) srednje vrednosti operatora $\hat{x},\hat{y}$ .

res: Dobio sam da mi se problem raspada na dva problema! Jedan je LHO po $x$ , a drugi beskonacno duboka potencijalna jama po $y$ . Za energiju osnovnog stanja dobijam:

$E_0=\frac{\hbar\omega}{2}+\frac{\hbar^2\pi^2}{2ml^2}$

a odgovara joj osnovno stanje $\psi_0(x,y)=\sqrt{\frac{2}{l}}(\frac{\alpha}{\pi})^\frac{1}{4}e^{-\frac{\alpha x^2}{2}}sin\frac{\pi y}{l}$

Problem mi je da izracunam ovo pod a) i b) mada pretpostavljam da je vrlo jednostavno. Pod a) treba da se dobije $\omega(E=E_0)=\frac{15}{2\pi^6}$ . A pod b) $<\hat{x}>=\frac{\hbar}{2m\omega},<\hat{y}>=\frac{l}{2}$ .

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Pomoc oko zadatka! 30.08.2008. u 19:24 · pre 221 mesec #2

Da li su problem integrali ili kako da dobiješ rešenje?

Re: Pomoc oko zadatka! 30.08.2008. u 19:54 · pre 221 mesec #3

Integrali! Cini mi se da gutam konstante!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Pomoc oko zadatka! 30.08.2008. u 20:49 · pre 221 mesec #4

Integrali su stvarno jednostavni. Prilikom integracije po y imaćeš integrale tipa $\int y^n \sin^2{ay}dy=\int y^n\frac{1-\cos\frac{ay}{2}}{2}dy$ koje lako rešavaš smenom $y\rightarrow t=\frac{ay}{2}$ i parcijalnom integracijom uzimanjem da je $u=t^n,\quad dv=\cos t$ i ponovnom parcijalnom integracijom sve dok se ne izgubi član $t^n$ i ostane samo trigonometrijski član. Prilikom integracije po x imaćeš integrale tipa

1. $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx$ što je Gausov integral i njegova vrednost je $\sqrt{\frac{\pi}{a}}$ . On je dat u tablicama, a ako ti se baš računa pokazao sam kako u nekoj tvojoj temi na podforumu za matematiku.

2. $\int_{-\infty}^{\infty}x e^{-ax^2}dx$ , koji je jednak nuli jer je u pitanju integral neparne funkcije na simetričnom intervalu, i

3. $\int_{-\infty}^{\infty}x^2 e^{-ax^2}dx=-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d}{da}e^{-ax^2}dx=-\frac{d}{da}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=-\frac{d}{da}\sqrt{\frac{\pi}{a}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a^2}}$ pri čemu je iskorišćena vrednost Gausovog integrala.

P.S. Za konstante ne mogu da ti pomognem.

Re: Pomoc oko zadatka! 30.08.2008. u 23:31 · pre 221 mesec #5

Moj prvi problem nastaje kada pokusam da normiram fju $\psi$ tj. kada odredjujem konstantu $A$ .

$A^2\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}dxdy...=1$

gde mi $...$ predstavljaju zbir od vise clanova od kojih je npr. prvi oblika $e^{-\alpha x^2}y^4$

A integral

$\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}dxdye^{-\alpha x^2}y^4$ divergira!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Pomoc oko zadatka! 31.08.2008. u 00:45 · pre 221 mesec #6

Integral po y ide od 0 do l.

Re: Pomoc oko zadatka! 31.08.2008. u 00:58 · pre 221 mesec #7

Glupa greska! Skroz sam zaboravio na to. Ustedeo si mi dosta vremena! Hvala!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Pomoc oko zadatka! 31.08.2008. u 01:13 · pre 221 mesec #8

Citat:

tomkeus:
3. $\int_{-\infty}^{\infty}x^2 e^{-ax^2}dx=-\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d}{da}e^{-ax^2}dx=-\frac{d}{da}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=-\frac{d}{da}\sqrt{\frac{\pi}{a}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a^2}}$ pri čemu je iskorišćena vrednost Gausovog integrala.

Samo mala ispravka! Ovde se dobija

$\int_{-\infty}^{\infty}x^2 e^{-ax^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a^3}}$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Pomoc oko zadatka! 31.08.2008. u 01:28 · pre 221 mesec #9

Dobija se

$A=\sqrt{\frac{15}{l^5}}(\frac{\alpha}{\pi})^\frac{1}{4}$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Pomoc oko zadatka! 31.08.2008. u 10:51 · pre 221 mesec #10

Tomkeus, kvadrat sinusa se izrazava preko kosinusa dvostrukog ugla.

Potpis

Shoutcast striming za online radio stanice
http://shout-cast.tk
Rešeni zadaci sa prijemnih ispita
http://matematika-012.tk

Re: Pomoc oko zadatka! 31.08.2008. u 16:55 · pre 221 mesec #11

Dobro jasno je sta je hteo reci!

$sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Pomoc oko zadatka! 06.09.2008. u 14:30 · pre 220 meseci #12

ZAD
Izracunati proizvod disperzija koordinate i impulsa u $n$ -tom stanju L.H.O.
a) pokazati na osnovu rezultata da je osnovno stanje L.H.O. stanje s minimalnim proizvodom disperzije.
b) zasto su ovi rezultati razliciti od nule iako je rec o sv. stanjima?

RES:
Dobijem:

$(\Delta\hat{x})^2=(2n+1)\frac{\hbar}{2\mu\omega}$
$(\Delta\hat{p})^2=(2n+1)\frac{\mu\omega\hbar}{2}$

i dobije se

$(\Delta\hat{x})(\Delta\hat{p})=(n+\frac{1}{2})\hbar$

b) Mislim da je odgovor jednostavan. Prostonu to su sv. stanja Hamiltonijana, a $\hat{x}$ i $\hat{p}$ ne komutiraju s njim! A sta treba uraditi pod a) Kako najlakse to uraditi?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme