Integrali racionalnih funkcija

Integrali racionalnih funkcija 05.08.2008. u 18:32 · pre 222 meseca #1

Imam problem sa jednim tipom integrala, tj. pri rešavanju ovog tipa integrala uvek dobijem isti tip rešenja koji se u jednom delu razlikuje od rešenja koja nam je dao asistent. Da ne dužim, ovako glasi zadatak

$\int {8x+4 \over x^2+x+5 } \hbox{d}x$

Rešavanje (neki delovi su mi komplikovani za tex, izvinjavam se):

"Odvajam" Int8xdx/(x^2+x+5) + Int4dx/(x^2+x+5)

Polinom x^2+x+5 svodim na oblik t^2 + 1 (zbog arctg(t)) pa se ispod razlomačke crte dobija redom

(x^2+x+1/4)^2 + 19/4 = 19/4 ( ((x+1/2)/(sqrt19/2))^2 + 1 )

i uglavnom posle sređivanja i "izbacivanja" koeficijenta ispred integrala, ostaje

((2x+1)/sqrt19)^2 + 1

Uzimam smenu t = (2x+1)/sqrt19 (da li je ispravno da za prvi integral tj $8\int {x \over x^2+x+5 } \hbox{d}x$ uzmem tu smenu?)

t= $2x+1 \over \sqrt{19}$
dx= $\sqrt{19} dt \over 2$

x= $t \sqrt{19} -1 \over 2$

Dalje sve ide dobro i dobije se na kraju izmedju ostalog

8Int tdt/t^2 + 1

koji ja resavam na sledeci nacin

smena: s=t^2+1 (da li je u redu?)
ds=2tdt
ds/2=tdt

i time svodim na oblik 4Int ds/s sto je jednako 4ln(s), to je dalje jednako 4ln(t^2+1) = 4ln((4x^2+4x+20)/19) - primetiti da se deljenjem brojioca sa 4 dobija x^2+x+5

i tu stizemo do problema jer u resenju pise 4ln(x^2+x+5) (ostatali integrali u resenju se oduzmu medjusobno pa je ovo celo resenje, i ja dobijem da moze da se oduzme).

Pretpostavljam da gresim negde u smeni.
Da li bi neko mogao da uradi ovaj zadatak ili da mi ukaze na gresku?

Hvala puno.

Re: Integrali racionalnih funkcija 05.08.2008. u 18:34 · pre 222 meseca #2

"Drugi" integral dobijem tacno pa sam njegovo resavanje zanemario u prethodnom postu.

Re: Integrali racionalnih funkcija 05.08.2008. u 18:51 · pre 222 meseca #3

Integral je ovog tipa:

$\fbox{\displaystyle \int\frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| +C}$

pa rjesavanje ide ovako:

$\displaystyle \int\frac{8x+4}{x^2+x+5}dx = 4\int\frac{2x+1}{x^2+x+5}dx = 4\ln |x^2+x+5| + C$

Re: Integrali racionalnih funkcija 05.08.2008. u 19:19 · pre 222 meseca #4

da, u medjuvremenu sam skontao da sam debil :) hvala puno

Re: Integrali racionalnih funkcija 06.08.2008. u 10:12 · pre 222 meseca #5

kao da ucis iz Apsena. integral ovog tipa......... nakon izvlacenja cetvorke pred integral, u brojniku ostaje $2x+1$ , a u nazivniku $x^2+x+5$ . Uvodis smjenu $x^2+x+5=t==>(2x+1)dx=dt$ .Ono sto hocu da kazem, je kad rjesavas integrale, pokusaj ih svesti na tablicne i pri tom koristi standardne nacine rjesavanja integrala: razne smjene, parcijalna integracije, metod ostrogradskog...., a ne sve svoditi na neke tipove integrala, koje rjesavas skoro napamet, prisjecajuci se ovog ili onog SABLONA. taj "tip" koji je kolega MathManiac naveo u svom zadnjem postu, nije tablicni. Ovaj int. se smjenom rijesi u roku 2 sekunde, a dok se ti prisjetis svih "tipova" integrala treba ti pola dana, jer je pola od tih tipova samo jedan tip.

Potpis

MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS

Re: Integrali racionalnih funkcija 06.08.2008. u 15:34 · pre 222 meseca #6

Integral tipa $\int {dt \over t}$ jeste tablicni, i navedeni integral se svodi na njega uvodjenjem smene. Nisam te bas najbolje razumeo u prethodnom postu.

Re: Integrali racionalnih funkcija 06.08.2008. u 16:21 · pre 222 meseca #7

Rjesavanje neodredjenog integrala, tj. trazenje primitivne funkcije, jest sablonski posao. Nadam se da integriranje ne smatras kreativnim poslom. :-) S tim u vezi, Apsen je sasvim OK.

U nekim tablicama derivacija nalazimo $\ln u(x) =\frac{u'(x)}{u(x)}$ sto je prosireno od $\ln x =\frac{1}{x}$ (vidi: Svetozar Kurepa, Matematička analiza 2) odakle direktno slijedi pravilo koje sam naveo; naravno, to se pravilo da izvesti i koristenjem metode supstitucije.

Glede pamcenja tipova integrala... naslovi iz Demidoviča:
1. Neposredno integriranje
2. Metoda supstitucije
3. Parcijalna integracija
4. Jednostavniji integrali s kvadratnim trinomom (dakle, tipova)
5. Integriranje racionalnih funkcija (dakle, tip)
6. Integriranje nekih iracionalnih funkcija (dakle, tipova)
....

Slično je i u ostalim zbirkama.

Re: Integrali racionalnih funkcija 06.08.2008. u 21:12 · pre 222 meseca #8

Izvinjavam se što sam dosadan ali moram da postavim još nekoliko pitanja. U pitanju je sledeći integral

$\int {(3x-2)dx \over x^2+4x+12}$

Ako radim na način da svodim na izvod od f kroz f

$\int {(2x+4)dx \over x^2+4x+12} + \int {(x-2)dx \over x^2+4x+12}$

$ln(x^2+4x+12) + \int {xdx \over x^2+4x+12} - ...$

opet dobijem taj "problematični" xdx/nesvodljiv kvadrat.

Ako radim na način da odmah "razdvajam" 3x i 2 u brojiocu, na kraju dobijem

${3 \over 2} ln ({x^2+4x+12 \over 8}) + 2 \sqrt{2} arctg({x+2 \over 2\sqrt{2}}) + C$

Rešenje u zbirci je

${3 \over 2} ln (x^2+4x+12) + 2 \sqrt{2} arctg({x+2 \over 2\sqrt{2}}) + C$

Znači uvek kad "vraćam" smenu u ln dobijem polinom kroz neki broj, i od rešenja se moje rešenje razlikuje samo u tom broju. U čemu je stvar? Da li bi neko mogao da mi pokaže postupak rešavanja ovog integrala i integrala

$\int {xdx \over x^2+4x+12 (ili bilo koji nesvodljiv kvadrat)}$

pošto izgleda da ja negde grešim.

Hvala

Re: Integrali racionalnih funkcija 06.08.2008. u 21:36 · pre 222 meseca #9

${3 \over 2} ln ({x^2+4x+12 \over 8})$ = ${3 \over 2} ln ({x^2+4x+12})$ - ${3 \over 2} ln ({8})$
a posto je ${3 \over 2} ln ({8})$ = C (to je broj tj. konstanta) i ${3 \over 2} ln ({8})$ + C = C

Sada je nadam se malo jasnije

i nigde ne gresis.
Inace ovaj tip integrala resava se onako kako si naveo a samo u pojedinim (i retkim slucajevima) moze se resiti direktno smenom.

Re: Integrali racionalnih funkcija 06.08.2008. u 21:41 · pre 222 meseca #10

Eto ti skica rješenja, a ostale korake ćeš bez problema sam nadopuniti.

Kod takvih integrala iz brojnika izluči toliko koliko je potrebno da bi linearni član ličio na derivaciju; dakle, nekako moraš dobiti $2x+?$

$\displaystyle\int\frac{3x-2}{x^2+4x+12}dx = \frac{3}{2}\int\frac{2x-\frac{4}{3}}{x^2+4x+12}dx =\frac{3}{2}\int\frac{(2x+4) -4-\frac{4}{3}}{x^2+4x+12}dx$

u zadnjem smo integralu dodali i oduzeli 4. To rastavimo na dva integrala

$=\frac{3}{2}\int\frac{2x+4}{x^2+4x+12}dx - 8\int\frac{dx}{x^2+4x+12}$ .

Prvi integral znaš, a u drugom nazivnik nadopuniš do potpunog kvadrata i supstitucijom svedeš do tabličnog. :-) Voila! :-)

Nadam se da nisam nigdje pogriješio s predznakom ili u zbrajanju ili tako nečem.

Re: Integrali racionalnih funkcija 06.08.2008. u 22:17 · pre 222 meseca #11

Hvala vam puno ljudi, taj ln me je zbunjivao, sad kad sam skontao da je ustvari delom konstanta mogu samo da lupam u zid što to ranije nisam uvideo :-)

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme