Problem sa jednim integralom

Problem sa jednim integralom 20.06.2008. u 12:13 · pre 223 meseci #1

Imam problem da resim jedan integral iz zbirke Uscumlic, Milicic (br. 3423):

Resenje iz zbirke ne odgovara zadatku, i sumnjam da je postavka losa.
Nema puno gresaka u zbirci, ali sam ipak primetio neke greske u nekoliko zadataka pa sam posle duzeg vremena posumnjao da je i ovde greska.
Obicno je greska u znaku (+,-) ili u stepenu.
Pokusavao sam na razne nacine da resim, ali ne ide.

Da li se ovaj integral uopste moze resiti u domenu elementarnih f-ja?

Ima li ko ideju kako bi zadatak mogao da se resi, ili ako je greska u postavci kako bi trebalo da izgleda dobro postavljen zadatak.

Integral_3423.gif2.88k

Re: Problem sa jednim integralom 20.06.2008. u 16:42 · pre 223 meseci #2

Eto ti... taman sam potisnula Uscumlica kao ruzno secanje... :)
Ima gresku taj zadatak, mathematica kao resenje vraca formulu sa slicice.
Nadji izvod resenja pa ces videti kako izgleda pravi integral. Koliko se secam, nije nista mnogo slicno datom.
Btw, ta zbirka je uzas zivi, puna gresaka sto u zadacima sto u resenjima.

rezultat.jpg10.56k

Re: Problem sa jednim integralom 22.06.2008. u 23:43 · pre 223 meseci #3

Niko nema ideju kako bi mogo da se resi ovaj integral? (ako uopste moze da se resi)
Vidim da je integral ponovljen i u dokumentu http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch2_3.pdf pa rekoh da mozda ima resenje (nisu ga valjda samo prepisali, bez provere).

Re: Problem sa jednim integralom 23.06.2008. u 00:07 · pre 223 meseci #4

Ja ti poslah kako izgleda resenje :) Koliko ja znam, ne moze da se resi, a da dobijes nesto lepo... posebno ne moze da dobijes njihovo resenje.

Re: Problem sa jednim integralom 23.06.2008. u 00:15 · pre 223 meseci #5

Citat:

sanja2010: Ja ti poslah kako izgleda resenje :) Koliko ja znam, ne moze da se resi, a da dobijes nesto lepo... posebno ne moze da dobijes njihovo resenje.

Da, video sam, i ja sam slicno resenje dobio u mathcadu, ali i za jos neke teze integrale dobijao sam slicna resenja u mathcadu (kao nemaju resenje) a u stvari imali su resenja u domenu elementarnih f-ja samo sto ih program nije prepoznao.
Mat. Programi nisu pouzdano resenje da se integral ne moze resiti.
A resenje ne mora biti ovo iz zbirke, interesuje me da li se uopste moze resiti i kako!

Re: Problem sa jednim integralom 07.07.2008. u 21:57 · pre 222 meseci #6

Polinom: X^3 + X + 1 ima samo jednu realnu nulu X1 na intervalu (-1,0).
Ona je iracionalna i tu je kraj normalnog resavanja integrala racionalnih funkcija.

Aj probaj da nije bio polinom: X^3 + X + 2 koji ima nulu X1 = -1.
Ne da radis integral. Smorno je mnogo.
Stavi u resenje (X^3 + X + 2 ) umesto (X^3 + X + 1) pa onda probaj izvod.

Mada to gubi smisao da ti otkrivas tekst zadatka u tako eminentnoj zbirci.
Koja ima beskonacno izdanja.
Ja imam beskonacno po redu izdanje i isti je tekst zadatka - pogresan (ili je resenje pogresno??).

Za ovaj sa (X^3 + X + 1)^3 tvrdim 99,99% da ne moze da se uradi.
Ne iz mathcada. Vec iz iskustva.

Mada ostaje 0,01%.
Kao sto ti rece.
Nikad se ne zna 100%.
Zbunjuju me koske od zadataka iza tog, u zbirci, koje se sve urade bez problema iako su im polinomi u imeniocu jos sugaviji od (X^3 + X + 1)^3.
Tipa nema ni jednu realnu nulu, al moze.

Ovde ubija vise 1 u brojiocu.
1 = (3*X^2 + 1) - 3*X^2.
Podelis na 2 integrala.
Al onaj drugi ni makac...???

Pozdrav

_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 07.07.2008. u 23:08 GMT+1]}

Re: Problem sa jednim integralom 08.07.2008. u 11:33 · pre 222 meseci #7

Miki, probao sam 101 nacin (figurativno receno) da resim u originalu (1/(X^3 + X + 1)^3) i njega nije moguce resiti.
E sad najvise me je zbunilo to sto je isti integral dat kao vezba na nekom od fakulteta (ima link) i pomislio sam da ne bi neko samo tek tako prepisao zadatak a da ga prethodno nije resio, mada izgleda da je bas tako bilo.
Inace zbirka je odlicna, i integrali su mozda jaci nego u drugim zbirkama ovog ranga, i bilo je stvar principa sto ne mogu da resim zadatak.
Inace imam prilicno iskustva sa integralim, pa je proradio inat, no bice da je problem u postavci (a resenje deluje tako da se sasvim uklapa u postavku, barem na prvi pogled).

Za varijantu (X^3 + X + 2 ) resenje postoji. I MathCad ga je prepoznao:

I bas me interesuje da li je resenje toliko omanulo u odnosu na postavku ili ipak ima neka "caka" kao sto i ti rece.
Ili i postavka i resenje imaju gresku, pa je onda jako tesko predvideti sta je autor hteo "reci".

Integral_3423_1.gif12.27k

Re: Problem sa jednim integralom 08.07.2008. u 15:14 · pre 222 meseci #8

I mene najvise zbunjuje sto iza njega uz zbirci ima, na prvi pogled, vecih koski od njega, al se urade uz manje vise problema.
I kod mene je inat u pitanju.
Kao integral racionalne f-je je kraj price.
I sva muvanja na taj fazon mislim da nemaju sanse.
Probacu jos kombinacije (sulude) x=sint ili x=cost ili x=tgt ili x=ctgt ili x=sinht....
Ako uradim javljam.

_{[Ovu poruku je menjao miki069 dana 08.07.2008. u 22:17 GMT+1]}

Re: Problem sa jednim integralom 14.07.2008. u 14:01 · pre 222 meseci #9

Koristi metod Ostrogradskog i moguce je rijesiti integral

Re: Problem sa jednim integralom 15.07.2008. u 00:18 · pre 222 meseci #10

Citat:

adnanK: Koristi metod Ostrogradskog i moguce je rijesiti integral :) :)

Koristio sam metodu Ostrogradskog i do sada ali ne mogu da resim.
Kako god da postavim ne mogu da dobijem koeficijente tj. sistem nema resenje.

Jel moze malo detaljnija pomoc?

Ja sam postavljao zadatak ovako (na dva nacina ali ne ide ni u prvom ni u drugom slucaju):

Jel ja gresim negde?

Ovako nekako se valjda postavlja zadatak kad funkcija ispod razlomacke crte ima visestruke korene, ali ova nema visestruke korene.
Zato me malo zbunjuje kako ovo uraditi metodom Ostrogradskog !!??

_{[Ovu poruku je menjao igorpet dana 15.07.2008. u 01:33 GMT+1]}

I_3423_Ost.gif2.12k

Re: Problem sa jednim integralom 27.07.2008. u 23:07 · pre 222 meseci #11

Evo jos nekih stvari u vezi ovog zadatka koje sam uspeo da pribavim.
U jednoj ruskoj zbirci nasao sam ovaj zadatak kao i resenje (konacno).
U njoj zadatak glasi: naci racionalni deo integrala, sto znaci da integral nema konacno resenje.
E sad, mene interesuje kako naci samo ovaj racionalni deo, jer ja nijedan primer nisam radio niti sreo zadatak poput ovoga.

Da li bi to trebalo ovako da izgleda?

Integral_3423_2.gif24.15k

Integral_3423_3.gif4.08k

Re: Problem sa jednim integralom 28.07.2008. u 18:34 · pre 222 meseci #12

Pa, evo posle vise od 8 meseci palo je i resenje integrala koji me je namucio.
Naravno nisam mislio samo na zadatak svo ovo vreme, ali prilicno mi je vremena (slobodnog) potrosio, pa mi je resenje jos sladje a narocito sto sam do njega dosao sam.
Necu da delujem nezahvalno, ali ipak cu morati da se zahvalim samo samom sebi

(i knjigama koje sam koristio).
Da li je zadatak bio toliko tezak ili ljudi nisu bili dovoljno motivisani da se pozabave problemom ne znam, ali sem adnanK koji je slucajno ili namerno pogodio metod za resavanje druge konstruktivne pomoci nisam imao.
(Sve gore navedeno shvatite samo kao malo opsirnije razmisljanje na glas - molim Vas nista vise od toga nije u pitanju)

Ipak je bio Ostrogradski u pitanju!!!
A do ovog resenja sam dosao konsultujuci pa barem jedno 10 eminentnih Ruskih zbirki i knjiga.
No, kad vidite resenje videcete da i nije nesto bogzna kako tesko

A cela poenta je bila u tome sto ja nisam znao da pravilno postavim resenje metodom Ostrogradska, inace resenje bi palo jos davno ali onda verovatno mnogi ne bi saznali za resenje ovog zadatka, tako da i to ima nekih svojih prednosti.
Pa evo i resenja:

Integral_3423_4.gif12.68k

Re: Problem sa jednim integralom 29.07.2008. u 17:56 · pre 221 meseci #13

Izvini, ali ja ovde i dalje ne vidim resenje integrala. Treba integraliti još onaj ostatak. On se može izraziti preko rešenja jednačine $x^3+x+1=0$ (jedno je realno i dva su konjugovano kompleksna).

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem sa jednim integralom 29.07.2008. u 18:11 · pre 221 meseci #14

Citat:

igorpet: U jednoj ruskoj zbirci nasao sam ovaj zadatak kao i resenje (konacno).
U njoj zadatak glasi: naci racionalni deo integrala, sto znaci da integral nema konacno resenje.

U pravu si Nedeljko ali radi se o tome da ovaj drugi integral nema racionalno resenje, tako da je konacno resenje ovakvo.
Radi se o tome sto u Uscumlicu nije korektno data postavka zadatka.
Zadatak bi trebao da glasi: Naci racionalni deo integrala jer ovaj integral nema resenje u oblasti realih funkcija ali zato deo tog integrala ima.

Ti ako smatras da moze drugacije ... Voleo bih da vidim resenje

Re: Problem sa jednim integralom 30.07.2008. u 09:03 · pre 221 meseci #15

Napiši $x^3+x+1$ kao $(x-a)((x-b)^2+c^2)$ , $c>0$ , pa ćes moći da ga rešiš. Uzgred, mogu se i izrašunati $a,b,c$ rešavanjem kubne jednačine $x^3+x+1=0$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem sa jednim integralom 30.07.2008. u 12:08 · pre 221 meseci #16

Citat:

Nedeljko: Napiši $x^3+x+1$ kao $(x-a)((x-b)^2+c^2)$ , $c>0$ , pa ćes moći da ga rešiš. Uzgred, mogu se i izrašunati $a,b,c$ rešavanjem kubne jednačine $x^3+x+1=0$ .

OK Nedeljko.
Ova funkcija ima jednu realnu nulu, i stvarno bi mogla da se faktorizuje sa (x-a) ali nesto mi ne ide bas.
Evo resenje ove kubne jednacine:

A evo i vrednosti za koeficijente:

Kako sada?
Znam kako ide, ali ove vrednosti za koeficijente me zbunjuju.
Da li se $1/(x^3+x+1)$ uopste moze rastaviti na dva prostija razlomka?

Integral_3423_5.gif16.28k

Integral_3423_6.gif7.45k

Re: Problem sa jednim integralom 30.07.2008. u 13:19 · pre 221 meseci #17

O problemu ovog polinoma bilo je reci i na temi:
http://www.elitesecurity.org/t...jivost-polinoma-treceg-stepena

$\input amstex \input cyracc.def \font\tencyr=wncyr10 \def\cyr#1{{\tencyr\cyracc#1}} \font\tencyri=wncyi10 \def\cyri#1{{\tencyri\cyracc#1}} \font\tencyb=wncyb10 \def\cyrb#1{{\tencyb\cyracc#1}} \def\Q{{\bold Q}} \cyr{Neka je }$p=x^3+x+1$\cyr{ polinom iz }$\Q[x]$. \item{\cyr{a.)}}\cyr{Pokazati da je polinom }$p$\cyr{ nerastavljiv nad poljem }$\Q$. \item{\cyr{b.)}}\cyr{Ako je }$\alpha$\cyr{ realna nula polinoma }$p$\cyr{ odrediti stepen rashirenja polja }$\Q[\alpha]$\cyr{ nad }$\Q$. \item{\cyr{v.)}}\cyr{Ako je }$\lambda=\alpha^2-\alpha$,\cyr{ odrediti minimalni polinom ovog elementa nad poljem }$\Q$. \item{\cyr{g.)}}\cyr{Odrediti }$\frac{1}{\lambda}$\cyr{ u }$\Q[\alpha]$. \bye$

Citat:

KPYU: Ako želimo da rastavimo ovaj polinom nad Q[x], to znači da želimo da bude
$p(x)=p_1(x)\cdot p_2(x)$ gde su p₁ i p₂ ne-konstantni polinomi iz Q[x]. To znači da jedan od njih mora da bude linearan, a to opet znači da P mora da ima bar jednu racionalnu nulu. Neka je to x₀. Dakle neka je
$x_0=\frac{a}{b}$

Tad mora biti $(\frac{a}{b})^3+\frac{a}{b}+1=0$ , tj
$a^3+a\cdot b^2+b^3=0$ gde je b broj, a a ceo broj. Sad vidimo da a deli b, i da b deli a. Onda je $\frac{a}{b}=\pm 1$

Ali $p(1)\ne 0\ne p(-1)$

Zaključak: ne postoji racionalna nula, dakle p(x) nije rastavljiv.

Da li to znaci da je svaki pokusaj rastavljanja polinoma $x^3+x+1$ uzaludan?

Re: Problem sa jednim integralom 30.07.2008. u 15:19 · pre 221 meseci #18

To znači da je svaki pokušaj rastavljanja tog polinoma nad poljem racionalnih brojeva uzaludan, ali ne i nad poljem realnih briojeva. Zar ne znaš kako se rešava opšta jednačina trećeg stepena? Realno rešenje ove jednačine je $\sqrt[3]{\sqrt{\frac 14+\frac 1{27}}+\frac 12}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac 14+\frac 1{27}}-\frac 12}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem sa jednim integralom 30.07.2008. u 15:54 · pre 221 meseci #19

Citat:

Nedeljko: ... Zar ne znaš kako se rešava opšta jednačina trećeg stepena? ...

Valjda Kardanove formule (nego brze mi ide kada mi odradi program nego kada ja sam racunam

)
Mozda nekom zatreba:

Citat:

Kardanove formule nogu se dobiti na sledeći elementarni način.

Data je jednačina trećeg stepena u opštem obliku:

ax³ + 3bx² + 3cx+d=0 (1)

Ako stavimo x=y - b/a jednačina (1) se svodi na oblik

y³+3py+2q=0 (2)

gdje je p=c/a - b²/a² i 2q=2b³/a³ - 3bc/a² + d/a

Uvodeći novu nepoznatu u pomoću jednakosti y=u - p/u
i unoseći taj izraz u (2), dobijamo

u⁶ + 2qu³ - p³=0 (3)

odakle se dobija

u³= -q ± (q²+p³)

Prema tome

y= (-q ± (q² + p³)^1/2)^1/3 - p((-q ± (q² + p³)^1/2)^-1/3

Ako se brojilac i imenilac drugog sabirka pomnože sa

(-q -(± (q² + p³)^1/2))^1/3

imajući u vidu da je izraz za u simetričan u odnose na znake + i -, konačno se dobija

y= (-q + (q² + p³)^1/2)^1/3 + (-q - (q² + p³)^1/2)^1/3

(Proizvod kubnih korijena u posljednjem izrazu jednak je p.) To je Kardanova formula.

Dakle, vrlo jednostavnom zamjenom, kubna jednačina (2) se svodi na kvadratnu jednačinu (3) po nepoznatoj u³.

Nego malo si permutovao ove razlomke u resenju pa si omanuo za jedan -

_{[Ovu poruku je menjao igorpet dana 30.07.2008. u 17:21 GMT+1]}

Integral_3423_7.gif2.78k

Re: Problem sa jednim integralom 30.07.2008. u 16:51 · pre 221 meseci #20

I ako mi na trenutak ostavimo po strani racionalne brojeve, prilikom faktorisanja ove funkcije dobijam:

Cemu ovo sluzi a da moze biti korisno?

Integral_3423_8.gif1.73k

Srodne teme