Tema
Boje
Pismo
Registracija

Novo

Forum kao aplikacija na telefonu

Dodajte forum na početni ekran i koristite ga kao aplikaciju, sa menijem na dnu ekrana.

Kako se dodaje

Osobine komutatora

Odgovori Nova tema
Štampanje RSS teme Kopiraj vezu do teme Podeli na Facebook-u Podeli na X-u (Twitter) Idi na poslednju poruku
  • 6 odgovora
  • 4.444 pregleda

Najnovija ↓

Osobine komutatora 21.07.2008. u 00:26 · pre 222 meseca #1
Ja resio da napisem nesto malo o osobinama komutatora. Mozda ce nekom koristiti.

def.
Komutator [,] operatora \hat{A},\hat{B} u oznaci [\hat{A},\hat{B}] definise se kao

[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}

Osobine:
[\hat{A},\hat{B}]=-[\hat{B},\hat{A}]

[\hat{A},\alpha\hat{B}]=[\alpha\hat{A},\hat{B}]=\alpha[\hat{A},\hat{B}]

[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}]
''levi izlazi levo, desni desno''

[\hat{A},\hat{B}^n]=\sum^{n-1}_{k=0}\hat{B}^k[\hat{A},\hat{B}]\hat{B}^{n-k-1}
Potpis
http://www.svijetfizike.com/
Re: Osobine komutatora 22.07.2008. u 21:36 · pre 222 meseca #2
Da dokazem ove osobine:

1.) [\hat{A},\hat{B}]=-[\hat{B},\hat{A}]
dokaz

[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}=-(\hat{B}\hat{A}-\hat{A}\hat{B})=-[\hat{B},\hat{A}]


2.) [\hat{A},\alpha\hat{B}]=[\alpha\hat{A},\hat{B}]=\alpha[\hat{A},\hat{B}]
dokaz
Odavde se jasno moze videti bilinearnost komutatora!
dokaz
[\hat{A},\alpha\hat{B}]=\hat{A}\alpha\hat{B}-\alpha\hat{B}\hat{A}

\alpha je broj pa komutira sa ovim operatorima! Odakle sledi gornji rezultat!

3.) [\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=[\hat{A},\hat{B}]\hat{C}+\hat{B}[\hat{A},\hat{C}]
dokaz
[\hat{A},\hat{B}\hat{C}]=\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{B}\hat{C}\hat{A}=
\hat{A}\hat{B}\hat{C}-\hat{B}\hat{C}\hat{A}-\hat{B}\hat{A}\hat{C}+\hat{B}\hat{A}\hat{C}

I zdruzivanjem dobijamo gornji rezultat!

4.) [\hat{A},\hat{B}^n]=\sum^{n-1}_{k=0}\hat{B}^k[\hat{A},\hat{B}]\hat{B}^{n-k-1}
dokaz
Dokazuje se matematickom indukcijom. Dokazao sam je u okviru ove teme http://www.elitesecurity.org/t...ljivi-zadaci-elegantna-resenja

Ko uspe da dokaze na neki drugi nacin bez indukcije nek okaci!:)





Potpis
http://www.svijetfizike.com/
Re: Osobine komutatora 26.07.2008. u 01:42 · pre 222 meseca #4
Hajde da napisem i u okviru ove teme

[\hat{A},\hat{B}^n]=\sum^{n-1}_{k=0}\hat{B}^k[\hat{A},\hat{B}]\hat{B}^{n-k-1}

Dokaz indukcijom!

1.) n=1
[\hat{A},\hat{B}]=[\hat{A},\hat{B}]

2.)n=m
\mathcal{IH}:
[\hat{A},\hat{B}^m]=\sum^{m-1}_{k=0}\hat{B}^k[\hat{A},\hat{B}]\hat{B}^{m-k-1}

3.)n=m+1
[\hat{A},\hat{B}^{m+1}]=[\hat{A},\hat{B}^m\hat{B}]=[\hat{A},\hat{B}^m]\hat{B}+\hat{B}^m[\hat{A},\hat{B}]=*


*=\sum^{m-1}_{k=0}\hat{B}^k[\hat{A},\hat{B}]\hat{B}^{m-k}+\hat{B}^m[\hat{A},\hat{B}]
Poslednji sabirak je m-ti clan ove sume pa ga mogu uvuci pod sumu. Kada to uradim dobijam

[\hat{A},\hat{B}^{m+1}]=\sum^{m}_{k=0}\hat{B}^k[\hat{A},\hat{B}]\hat{B}^{m-k}

Cime je ovaj identitet dokazan.
Potpis
http://www.svijetfizike.com/
Re: Osobine komutatora 29.07.2008. u 17:49 · pre 222 meseca #6
ZADATAK
Neka su \hat{A}(t) i \hat{B}(t) operatori fizickih velicina sistema koji se opisuje Hamiltonijanom \hat{H}. Pokazati da tada vazi relacija:

\frac{d}{dt}(\hat{A}\hat{B})=\frac{d\hat{A}}{dt}\hat{B}+\hat{A}\frac{d\hat{B}}{dt}

RESENJE:
Mislim da je najkorektnije resenje primenom Hajzenbergovih jednacina kretanja

\frac{d}{dt}(\hat{A}\hat{B})=\frac{\partial}{\partial t}(\hat{A}\hat{B})+\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{A}\hat{B}]=
=\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\hat{B}+\hat{A}\frac{\partial \hat{B}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{A}]\hat{B}+\frac{i}{\hbar}\hat{A}[\hat{H},\hat{B}]

I odavde se lako dobija trazena relacija!

Resenje koje se uglavnom daje po zbirkama polazi od sledeceg

\frac{d\hat{A}(t)}{dt}=lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{\hat{A}(t+\epsilon)-\hat{A}(t)}{\epsilon}
U kom slucaju za operatore uopste vazi ova relacija?

Primenom ove definicije relativno se lako dobija

\frac{d(\hat{A}\hat{B}))}{dt}=lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{\hat{A}(t+\epsilon)\hat{B}(t+\epsilon)-\hat{A}(t)\hat{B}(t)}{\epsilon}=
=lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{\hat{A}(t+\epsilon)\hat{B}(t+\epsilon)+\hat{A}(t+\epsilon)\hat{B}(t)-\hat{A}(t+\epsilon)\hat{B}(t)-\hat{A}(t)\hat{B}(t)}{\epsilon}

Odakle se lako dobija trazena relacija!

U kojim slucajevima se definicija izvoda fja moze primenjivati na operatore?
Potpis
http://www.svijetfizike.com/
Re: Osobine komutatora 02.08.2008. u 02:32 · pre 222 meseca #7
Evo sad jednog lepog zadatka!:)

ZAD
Neka je [\hat{A},\hat{B}]=c. Pokazati da vazi

[\hat{A},F(\hat{B})]=[\hat{A},\hat{B}]F'(\hat{B})
F(\hat{B})-proizvoljna diferencijabilna funkcija
c\in\mathcal{C}

RESENJE:
Dacu odmah ovde i resenje zadatka! Nadam se da ce ova tema u buducnosti biti od koristi ljudima koji spremaju kvantnu:)

F(\hat{B})=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{F^{(n)}(0)}{n!}\hat{B}^n

[\hat{A},F(\hat{B})]=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{F^{(n)}(0)}{n!}(\hat{A}\hat{B}^n-\hat{B}^n\hat{A})

E sad dolazim do necega sto je vec pokazano u ovoj temi:)

\hat{A}\hat{B}^n-\hat{B}^n\hat{A}=[\hat{A},\hat{B}^n]=\sum^{n-1}_{k=0}\hat{B}^k[\hat{A},\hat{B}]\hat{B}^{n-k-1}
Ali kako \hat{B} komutira sa [\hat{A},\hat{B}] dobijamo

\sum^{n-1}_{k=0}\hat{B}^k[\hat{A},\hat{B}]\hat{B}^{n-k-1}=\sum^{n-1}_{k=0}[\hat{A},\hat{B}]\hat{B}^{n-1}=n[\hat{A},\hat{B}]\hat{B}^{n-1}

Pa je

[\hat{A},F(\hat{B})=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{F^{(n)}(0)}{n!}n[\hat{A},\hat{B}]\hat{B}^{n-1}

Uvede se smena n-1=k i lako se dobija trazeni rezultat!


Potpis
http://www.svijetfizike.com/
Odgovori
Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.PrijavaRegistracija

Premeštanje teme