Lagranzeve jednacine - potencijalne sile

Lagranzeve jednacine - potencijalne sile 30.04.2008. u 23:10 · pre 225 meseci #1

Zapucao sam se na jednom mestu u knjizi profesora Musickog.

On dodje do Lagranzevih jednacina druge vrste

$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q_j}}}-\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j, j=1,...n$

gde su $Q_j$ generalisane sile

Onda razmatra slucaj potencijalnih sila gde uvodi tzv. generalisani potencijal $V(q_\mu,\dot{q_\mu},t)$ i kaze pretpostavimo da se sve generalisane sile mogu dobiti na ovaj nacin

$Q_j=\frac{d}{dt}\frac{\partial V}{\partial \dot{q_j}}-\frac{\partial V}{\partial q_j}, j=1...n$

Zasto on ovo sme da pretpostavi? On kaze da mu je bitno da kad potencijal ne zavisi od brzina dobije slucaj $Q_j=-\frac{\partial U}{\partial q_j}$ sto on ima i u ovom obliku ali on ovde prosto stima na ono sto hoce da dobije!

I on sad ovaj prvi clan razvija u red i dobija:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial V}{\partial \dot{q_j}}=\sum^{n}_{k=1}\frac{\partial^{2}V}{\partial \dot{q_j}\partial \dot{q_k}}\ddot{q_k}+(**)$

gde sa $(**)$ oznacava clanove koji ne zavise od generalisanih ubrzanja. Jel moze neko da mi kaze kako on dolazi do ovog razvoja?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Lagranzeve jednacine - potencijalne sile 01.05.2008. u 02:03 · pre 225 meseci #2

Citat:

petarm:
Zasto on ovo sme da pretpostavi?

U principu ne sme, zato u lagranževim jednačinama sa desne strane i stoje nepotencijalne sile, tj. sile koje se ne mogu izraziti preko potencijala, ali on je verovatno hteo da se ograniči da bi izbegao komplikacije, a uostalom, već smo u nekoj drugoj temi napomenuli da su sve interakcije potencijalne.

Citat:

petarm:
Jel moze neko da mi kaze kako on dolazi do ovog razvoja?

$\frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial\dot{q}_j}V(q_i, \dot{q}_i,t)=\frac{\partial}{\partial\dot{q}_j}\frac{d}{dt}V(q_i, \dot{q}_i,t)$

Sada primenjujemo pravilo o izvodu složene funkcije tako da gornji izraz postaje

$\frac{\partial}{\partial\dot{q}_j}\sum_i\left(\frac{\partial V}{\partial q_i}\frac{d q_i}{dt}+\frac{\partial V}{\partial\dot{q}_i}\frac{d\dot{q}_i}{dt}\right)+\frac{\partial}{\partial\dot{q}_j}\frac{\partial V}{\partial t}$

Ovo na kraju daje

$\sum_i \frac{\partial^2 V}{\partial\dot{q}_i\partial\dot{q}_j}\ddot{q_i}+f$

gde f ne zavisi od generalisanih ubrzanja.

Re: Lagranzeve jednacine - potencijalne sile 01.05.2008. u 09:56 · pre 225 meseci #3

On posle kaze ako postoje i nepotencijalne sile vazi:

$Q_j=\frac{d}{dt}\frac{\partial V}{\partial \dot{q_j}}-\frac{\partial V}{\partial q_j}+Q^{*}_{j}$

Znaci opet zadrzava ovaj oblik $\frac{d}{dt}\frac{\partial V}{\partial \dot{q_j}}-\frac{\partial V}{\partial q_j}$ i dodaje jos nepotencijalne sile $Q^{*}_{j}$

$Q_j=\frac{\partial V}{\partial \dot{q_j}}-\frac{\partial V}{\partial q_j}+Q^{*}_{j}$

Zasto ne uzme recimo ovaj oblik?

gde su $Q^{*}_{j}$ nepotencijalne sile

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Lagranzeve jednacine - potencijalne sile 01.05.2008. u 11:39 · pre 225 meseci #4

Citat:

petarm:
Zasto ne uzme recimo ovaj oblik?

Da bi mogao da potencijal uvuče pod izvode zajedno sa kinetičkom energijom.

Re: Lagranzeve jednacine - potencijalne sile 01.05.2008. u 12:07 · pre 225 meseci #5

Citat:

tomkeus: Da bi mogao da potencijal uvuče pod izvode zajedno sa kinetičkom energijom.

Znam. Ali to hocu da kazem. Da on stimuje konacan rezultat. Uzima ono sto mu odgovara!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Lagranzeve jednacine - potencijalne sile 01.05.2008. u 12:34 · pre 225 meseci #6

Nije on ništa štimovao, samo je izdvojio klasu sila koje se mogu izraziti preko potencijala na odgovarajući način jer u slučaju da imamo samo takve sile jednačine kretanja dobijaju jednostavan oblik. E, sada što se ispostavlja da su sve realne sile takve je sasvim druga stvar.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme