Zadatak sa pismenog koji nisam uspeo da resim

Zadatak sa pismenog koji nisam uspeo da resim 13.02.2008. u 15:02 · pre 227 meseci #1

Zadatak sa pismenog iz Matematicke fizike 2 koji nisam uspeo da resim! Pa ako neko ima vremena i resi ga neka okaci resenje.

1.) Dokazati
$L_{n}(x)L_{n+1}(x)=(n!)^{2}\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\frac{2k+1-x}{(k!)^{2}}L^{2}_{k}(x)$

polazeci od rekurentne relacije za Lagerove polinome

$L_{k+1}(x)+k^{2}L_{k-1}(x)=(2k+1-x)L_{k}(x)$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Zadatak sa pismenog koji nisam uspeo da resim 16.02.2008. u 01:43 · pre 227 meseci #2

Nije teško. Obična indukcija je u pitanju. Pretpostavimo da stvar važi za n-1. Imamo dakle (mrzi me da kucam pa će biti L umesto L(x))

$L_{n-1}L_n =((n-1)!)^2\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-1-k}\frac{2k+1-x}{(k!)^2}L_k^2$

Sada nas zanima koliko je $L_n L_{n+1}$ . U tu svrhu, iskoristimo rekurentnu relaciju koja kaže da je $L_{n+1}=(2n+1-x)L_n -n^2 L_{n-1}$ . Dakle imamo

$L_n L_{n+1}=L_n((2n+1-x)L_n -n^2L_{n-1})=(2n+1-x)L_n^2-n^2 L_n L_{n-1}$

Sada iskoristimo pretpostavku za n-1, tako da imamo

$L_n L_{n+1}=(2n+1-x)L_n^2-n^2 ((n-1)!)^2\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-1-k}\frac{2k+1-x}{(k!)^2}L_k^2=(2n+1-x)L_n^2-(n!)^2\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-1-k}\frac{2k+1-x}{(k!)^2}L_k^2$

Onda malo prepakujemo prvi sabirak tako da dobijemo

$L_n L_{n+1}=(n!)^2 (-1)^{n-n}\frac{2n+1-x}{(n!)^2}L_n^2-(n!)^2\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-1-k}\frac{2k+1-x}{(k!)^2}L_k^2$

Vidimo da je prvi sabirak n-ti član sume $(n!)^2\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\frac{2k+1-x}{(k!)^2}L_k^2$ , a drugi sabirak (sa sve predznakom minus) suma članova do n-1. Kada uzmemo i spojimo ova dva sabirka u zajedničku sumu dobijemo tačno

$L_n L_{n+1}=(n!)^2\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\frac{2k+1-x}{(k!)^2}L_k^2$

Što je i trebalo pokazati.

Re: Zadatak sa pismenog koji nisam uspeo da resim 16.02.2008. u 02:05 · pre 227 meseci #3

Znam da nije tesko

Al ja sam bezveze usao u cajtnot pa nisam nista video u datom momentu.

Moglo se i drugacije resiti

Podjem od rekurentne relacije

$L_{k+1}(x)+k^{2}L_{k-1}(x)=(2k+1-x)L_{k}(x)$

i pomnozim je sa

$\frac{(-1)^{n-k}}{(k!)^{2}}L_k(x)$

I onda malo transformisem levu stranu i raspisem par clanova i zatim pokazem da vazi

$L_{n}(x)L_{n+1}(x)=(n!)^{2}\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\frac{2k+1-x}{(k!)^{2}}L^{2}_{k}(x)$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Zadatak sa pismenog koji nisam uspeo da resim 19.02.2008. u 17:24 · pre 227 meseci #4

Hajde da ispisem

$L_{k+1}(x)+k^{2}L_{k-1}(x)=(2k+1-x)L_{k}(x)$

pomnozim je sa

$\frac{(-1)^{n-k}}{(k!)^{2}}L_k(x)$

dobijem

$\frac{(-1)^{n-k}}{(k!)^{2}}\frac{(k+1)}{(k+1)}L_k(x)L_{k+1}(x)+{k}^2\frac{(-1)^{n-k}}{k(k-1)!k!}L_k(x)L_{k-1}(x)=(-1)^{n-k}\frac{2k+1-x}{(k!)^{2}}L^{2}_{k}(x)$

${(-1)^{n-k}}(k+1)\frac{L_k}{k!}\frac{L_{k+1}}{(k+1)!}+{(-1)^{n-k}}k\frac{L_k}{k!}\frac{L_{k-1}}{(k-1)!}=(-1)^{n-k}\frac{2k+1-x}{(k!)^{2}}L^{2}_{k}(x)$

Sad u ovoj poslednjoj jednakosti stavljam $k=0,1,2,...n$ i saberem date jednakosti! Dobija se bas

$L_{n}(x)L_{n+1}(x)=(n!)^{2}\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\frac{2k+1-x}{(k!)^{2}}L^{2}_{k}(x)$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Zadatak sa pismenog koji nisam uspeo da resim 20.02.2008. u 12:44 · pre 227 meseci #5

Ako neko jos ima neko resenje neka ga napise!

Ja dodajem ovom jos jedan zadatak

1.) Ako je $L_n$ Lagerov polinom dokazati razvoj

${e}^{\frac{x}{2}}=2\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^n\frac{L_n(x)}{n!}$

resenje:

Ja sam ga resio integraleci levu i desnu stranu sa $\int_{0}^{\infty}dx{e}^{-x}L_m(x)$ . Ali mislim da bi ovo moglo da se resi i bez integrala samo nisam siguran kako. Ako neko ima ideju neka je izlozi. Bilo koji drugi nacin u odnosu na ovaj koji sam ja uradio me zanima!

Ima jos jedna stvar koja me zanima. Video sam u jednoj knjizi da ovako resavaju integral

$\int_{0}^{\infty}dx{e}^{-x}{L_n}^2(x)=(-1)^n\int_{0}^{\infty}dx{e}^{-x}{x}^nL_n(x)$

I lako dobiju da je to $(n!)^2$ . Zasto to smeju da urade? Zasto smeju da zadrze samo najjaci stepen kod datog Lagerovog polinoma?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Zadatak sa pismenog koji nisam uspeo da resim 21.02.2008. u 16:10 · pre 227 meseci #6

Stroze bi bilo da napisem

${e}^{\frac{x}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}a_nL_n(x)$

Pa onda integralim levu idesnu stranu!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Zadatak sa pismenog koji nisam uspeo da resim 21.02.2008. u 16:18 · pre 227 meseci #7

Inace kod ovog zadatka

Citat:

petarm: Zadatak sa pismenog iz Matematicke fizike 2 koji nisam uspeo da resim! Pa ako neko ima vremena i resi ga neka okaci resenje.

1.) Dokazati
$L_{n}(x)L_{n+1}(x)=(n!)^{2}\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\frac{2k+1-x}{(k!)^{2}}L^{2}_{k}(x)$

polazeci od rekurentne relacije za Lagerove polinome

$L_{k+1}(x)+k^{2}L_{k-1}(x)=(2k+1-x)L_{k}(x)$

Da li bih ja mogao izraziti iz rekurentne relacije

$L_{k+1}(x)+k^{2}L_{k-1}(x)=(2k+1-x)L_{k}(x)$

$2k+1-x$

Onda to ubaciti u

$L_{n}(x)L_{n+1}(x)=(n!)^{2}\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\frac{2k+1-x}{(k!)^{2}}L^{2}_{k}(x)$

i integralim levu i desnu stranu $\int_{0}^{\infty}dx{e}^{-x}$

Dobicu $0=0$

Da li se ovo moze prihvatiti kao dokaz?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme