Pomoc oko zadatka!

Pomoc oko zadatka! 07.02.2008. u 13:00 · pre 228 meseci #1

Zamolio bih clanove ovog Foruma da mi pomognu oko resavanja jednog zadatka. Ja sam napisao postupak kojim sam radio ali nisam uspeo da ga izguram do kraja.

Unapred hvala!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Ako je.doc40.5k

Re: Pomoc oko zadatka! 09.02.2008. u 21:34 · pre 228 meseci #2

Pre svega ostalog, dobio si dobar rezultat integracijom desne strane jednačine.
Tu imam samo jednu napomenu da je zdravije odabrati drugačiji indeks Lagerovog polinoma koji se nalazi u izrazu kojim množiš početnu jednačinu. Ako odabereš da taj indeks bude $m$ umesto $n$ (da ne bi došlo do zabune i grešaka u nastavku dokaza), onda množiš sa $e^{-x}L_{m}(x)$ , gde je $m \le n$ i kao rezultat posle integraljenja desne strane dobijaš: $a_{m}(m!)^2$ .
Sada je:
$a_{m}={ 1 \over {(m!)}^2} \int _0^{+ \infty } { {{x^n} \over {n!}} e^{-x} L_m{(x)}dx}$
Posle uvrštavanja izraza za Lagerove polinome u obliku izvoda i niza parcijalnih integracija dobija se:
$a_m = (-1)^m {{1 \over {m!}}} {n \choose m}$
iz čega neposredno sledi dokaz.

Potpis

"Verovatno da preko nje mnoge sile kontrolišu mnogo šta..." - GANDOR
"Kada bi ljudski mozak bio tako jednostavan da bismo mogli da ga shvatimo, onda bismo mi bili toliko glupi da ga ipak ne bismo mogli shvatiti."

Re: Pomoc oko zadatka! 09.02.2008. u 22:00 · pre 228 meseci #3

OK. Hvala!

Ali kad izrazis Lagerov polinom preko n-tog izvoda pojavice ti se jedna suma na desnoj strani date jednakosti

$a_{m}={ 1 \over {(m!)}^2} \int _0^{+ \infty } { {{x^n} \over {n!}} e^{-x} L_m{(x)}dx}$

Kako se oslobadjas date sume?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Pomoc oko zadatka! 09.02.2008. u 22:26 · pre 228 meseci #4

Nema nikakve sume koje se treba osloboditi.
Naime,
$L_m{(x)}=e^x{{d^m} \over {dx^m}}(x^m{e^x})$
Ovo ubaciš u izraz za $a_m$ i dobiješ:
$a_m = {1 \over (m!)^2} \int _0^{+ \infty}{x^n \over n!}{{{d^m} \over {dx^m}}(x^m{e^x})}dx$

Posle primene parcijalne integracije dobijaš:
$a_m = {1 \over (m!)^2} \int _0^{+ \infty}{x^{n-1} \over {(n-1)!}}{{{d^{m-1}} \over {dx^{m-1}}}(x^m{e^x})}dx$
Napomena:
Prvi član u izrazu po primeni parcijalne integracije:
${x^n \over n!}{{{d^{m-1}} \over {dx^{m-1}}}(x^m{e^x})} \vert _{x=0}^{x \rightarrow \infty}$
teži nuli kada $x \rightarrow \infty$ , a jednak je nuli za $x=0$ , tako da ostaje samo ovaj u gornjem izrazu.

Na poslednji izraz za $a_m$ se primeni parcijalna integracija $m-1$ puta i dobije se izraz za $a_m$ koji sam naveo u svojoj prethodnoj poruci.

Potpis

"Verovatno da preko nje mnoge sile kontrolišu mnogo šta..." - GANDOR
"Kada bi ljudski mozak bio tako jednostavan da bismo mogli da ga shvatimo, onda bismo mi bili toliko glupi da ga ipak ne bismo mogli shvatiti."

Re: Pomoc oko zadatka! 10.02.2008. u 21:33 · pre 228 meseci #5

Posle primene parcijalne integracije dobijem

$a_m =- {1 \over (m!)^2} \int _0^{+ \infty}{x^{n-1} \over {(n-1)!}}{{{d^{m-1}} \over {dx^{m-1}}}(x^m{e^{-x})}dx$

Zaboravio si minus. Lapsus. On mi treba zbog ${(-1)}^m$ .I u zagradi ${e}^{-x}$ treba da stoji.

Nakon parcijalnih integracija ja dobijem

$a_m = {1 \over (m!)^2}{(-1)}^{n} \int _0^{+ \infty}}{{{d^{m-n}} \over {dx^{m-n}}}(x^m{e^{-x})}dx$

Ali ne vidim sta dalje?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Pomoc oko zadatka! 10.02.2008. u 23:10 · pre 228 meseci #6

U pravu si i za minus i za $e^{-x}$ .
Ajde ovako:
- polazni izraz je:
$a_m = {1 \over (m!)^2} \int _0^{+ \infty}{x^n \over n!}{{{d^m} \over {dx^m}}(x^m{e^{-x}})}dx$

- posle prve primene parcijalne integracije dobijamo izraz:
$a_m = -{1 \over (m!)^2} \int _0^{+ \infty}{x^{n-1} \over {(n-1)!}}{{{d^{m-1}} \over {dx^{m-1}}}(x^m{e^{-x}})}dx$

- posle m-te primene parcijalne integracije analogno dobijaš:
$a_m = (-1)^{m}{1 \over (m!)^2} \int _0^{+ \infty}{x^{n-m} \over {(n-m)!}}x^m{e^{-x}}dx$ , tj.

$a_m = (-1)^{m}{1 \over (m!)^2} {1 \over {(n-m)!}} \int _0^{+ \infty}x^{n}{e^{-x}}dx$

Dalje bi trebalo da je lako.

Si?

Potpis

"Verovatno da preko nje mnoge sile kontrolišu mnogo šta..." - GANDOR
"Kada bi ljudski mozak bio tako jednostavan da bismo mogli da ga shvatimo, onda bismo mi bili toliko glupi da ga ipak ne bismo mogli shvatiti."

Re: Pomoc oko zadatka! 11.02.2008. u 10:38 · pre 228 meseci #7

Da hvala! Zapucao sam se na glupostima!

Ajde ipak da ispisem

$a_m = (-1)^{m}{1 \over (m!)^2} {1 \over {(n-m)!}} {n!}$

$a_m = (-1)^{m}{1 \over m!} {{n!} \over {{m!}(n-m)!}}$

$a_m = (-1)^m {{1 \over {m!}}} {n \choose m}$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme