Jedan limes sa exp

Jedan limes sa exp 21.10.2007. u 02:40 · pre 232 meseca #1

Dakle,

$\lim_{x \to +oo} {x(e^{ 1 \over x-2} - 1)}$

Lopitalovo pravilo (ako prebacim x dole, recimo) samo komplikuje izraz. Pretpostavljam da bi moglo preko Tejlorovog razvoja, ali bih volio neko jednostavnije rjesenje.

Potpis

IRC is just multiplayer notepad.

Re: Jedan limes sa exp 21.10.2007. u 04:17 · pre 232 meseca #2

Prvo treba da „pripremimo teren“ pokazujući da je $f(x):=x\left(e^{\frac 1{x-2}}-1\right)>1$ za $x>2$ (kasnije će postati jasno šta će nam ovo), što će slediti iz $e^{\frac 1{x-2}}-1>\frac 1 x$ za $x>2$ , odnosno $g(x):=e^{\frac 1{x-2}}-1-\frac 1 x$ treba da bude pozitivna funkcija u navedenom opsegu. I zaista, očito je $\lim_{x\to\infty}g(x)=0$ dok je $g'(x)=-\frac{e^{\frac 1{x-2}}}{(x-2)^2}+\frac 1{x^2}=\frac{\frac{(x-2)^2}{x^2}-e^{\frac 1{x-2}}}{(x-2)^2}=\frac{\overbrace{\left(1-\frac 2 x\right)^2}^{<1}-\overbrace{e^{\frac 1{x-2}}}^{>1}}{(x-2)^2}<0$ , pa budući da $g(x)$ monotono opadajući teži nuli, ona jeste pozitivna na željenom domenu.

Dalje:

$A:=\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac x{\frac 1{e^{\frac 1{x-2}}-1}}=\lim_{x\to\infty}\frac 1{\frac{-1}{\left(e^{\frac 1{x-2}}-1\right)^2}\cdot e^{\frac 1{x-2}}\cdot\frac{-1}{(x-2)^2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\bigg((x-2)\left(e^{\frac 1{x-2}}-1\right)\bigg)^2}{e^{\frac 1{x-2}}}=$
$=\lim_{x\to\infty}\frac{\bigg(x\left(e^{\frac 1{x-2}}-1\right)-2\left(e^{\frac 1{x-2}}-1\right)\bigg)^2}{e^{\frac 1{x-2}}}=\frac{\bigg(\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\left(e^{\frac 1{x-2}}-1\right)-2\lim_{x\to\infty}\left(e^{\frac 1{x-2}}-1\right)\bigg)^2}{\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{\frac 1{x-2}}}=\frac{(A-2\cdot 0)^2}{1}=A^2$

Iz ovoga sledi da je $\lim_{x\to\infty}f(x)$ jednak $0$ ili $1$ . No, kako smo dokazali da je $f(x)$ veće od $1$ za sve $x>2$ , to ostaje samo: $\lim_{x\to\infty}x\left(e^{\frac 1{x-2}}-1\right)=1$ .

Ipak, da bi rešenje bilo kompletno, moralo bi se dokazati i da traženi limes uopšte postoji (budući da to ne sledi automatski iz ovakvog načina rešavanja), ali to ostavljam tebi za vežbu.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Jedan limes sa exp 21.10.2007. u 11:25 · pre 232 meseca #3

Uvedemo smenu $y:=e^\frac{1}{x-2}-1$ odakle sledi $x=\frac{1}{\ln (y+1)}+2$

Pa se dati limes svodi na: $\lim_{y\to 0_+}\left (\frac{1}{\ln(y+1)}+2\right )y=\lim_{y\to 0_+}\frac{y+2y\ln(y+1)}{\ln(y+1)}=\lim_{y\to 0_+}\frac{1+2\ln(y+1)+\frac{2y}{y+1}}{\frac{1}{y+1}}=1$

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Jedan limes sa exp 21.10.2007. u 15:02 · pre 232 meseca #4

OK, hvala!

Potpis

IRC is just multiplayer notepad.

Re: Jedan limes sa exp 12.02.2014. u 13:15 · pre 155 meseci #5

Prebaci se 1/x dole i samo jedna primena Lopitalovog pravila.

$e^\frac{1}{x-2}$ se skloni u poseban limes, jer daje 1 i ne učestvuje u neodređenosti.

I gotovo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme