Dirakova delta f-ja

Dirakova delta f-ja 15.04.2007. u 00:01 · pre 238 meseci #1

Voleo bih da mi neko objasni zasto je izvod Hevisajdove f-je delta f-ja i koji je njen znacaj.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dirakova delta f-ja 15.04.2007. u 01:02 · pre 238 meseci #2

Hint:
$\delta(x-x_0)$ nije funkcija. Medjutim, $f \rightarrow \int_{a}^{b} f(x) \delta(x-x_0)$ jeste dobro definisan linearni operator za dovoljno glatke funkcije f(x). Ako hoces da budes matematicki precizan, treba pricati o ovom operatoru a ne o samoj delta-"funkciji".

Stvari poput delta "funkcije" koje smisla imaju samo pod znakom integrala u analizi su poznate kao distribucije. Veoma su korisne za opis diskontinuiteta, singulariteta i tako toga....

Re: Dirakova delta f-ja 15.04.2007. u 07:58 · pre 238 meseci #3

Kad funkcija trpi konacan skok u nekoj tacki tad njen prvi izvod trpi beskonacan skok.
To se moze objasniti najprostije preko same definicije izvoda H'(x)=dH(x)/dx.
Ovde mozemo dx=x2-x1 posto ovde dx tezi nuli, a 1/0 tezi beskonacno, te je odavde i
H'(0)=beskonacno, a u ostalom delu prostora po definiciji izvoda iz konstante nula.
To i jeste definicije dirakove delta funkcije.

Re: Dirakova delta f-ja 15.04.2007. u 22:54 · pre 238 meseci #4

Delta f-ja spada u generalisane (tzv nesvojstvene) f-je koje nisu f-je u pravom smislu (reč je o familiji f-ja) zato što:
može imati bilo koju vrednost u intervalu (-w,w), gde w->0,
van tog intervala vrednost je nula,
a inetgral (površina ispod krive) u tom intervalu mora biti 1.

Hevisajdova f-ja pripada istoj kategoriji f-ja, pri čemu je:
vrednost f-je jednaka 0 od -beskonačno do -w
od -w do w vrednost nije strogo definisana (w->0), ali vazi H(x)=integral od -w do x (D(t) dt)
vrednost f-je je 1 posle w

Re: Dirakova delta f-ja 18.04.2007. u 09:13 · pre 238 meseci #5

A zasto je kod Hevisajdove f-je vrednost u 0 bas 1/2? I da li tako to tretiraju i matematicari ili oni Hevisajdovoj f-ji daju recimo vrednost 0 u 0?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dirakova delta f-ja 18.04.2007. u 23:15 · pre 238 meseci #6

To je anomalija Laplasove (Furijeove?) transformacije. Napravi Furijeovu transformaciju f-je H(t) pa potraži inverznu - u tom slučaju će ti se pojaviti da je Hinv(0)=1/2. Po definiciji H(t) za t=0 nije striktno ograničeno na 1/2, važi definicija iz mog prethodnog posta.

pogledaj
http://mathworld.wolfram.com/HeavisideStepFunction.html
deo pri dnu strane koji se odnosi na Furijeovu transformaciju Hevisajdove f-je. Uz Delta-funkciju je član 1/2, koji će pri inverznoj transformaciji dati vrednost 1/2 u nuli.

Re: Dirakova delta f-ja 19.04.2007. u 23:07 · pre 238 meseci #7

Evo i nešto preciznijeg odgovora:
Pošto H(t) (Hevisajdova ili odskočna f-ja) ne zadovoljava Dirihleov uslov ne može da ima Furijeovu transformaciju, bar ne u nekom "normalnom" obliku. Da bi se ipak došlo do Furijeove transformacije H(t) pribegava se triku: Traži se Furijeova transformacija f-je h(t)=H(t)-H(t-T), što je u stvari impuls širine T. h(t) ima Furijeovu transformaciju:
F(h(t))=(1-exp(-j*w*T))/(j*w)
a ako se pusti da T teži beskonačnosti impuls se pretvara u Hevisajdovu f-ju, pa se dobija sledeći izraz za Furijeovu transformaciju:
H(w)=pi*D(w) + 1/(j*w)
D je Dirakova f-ja.
Inverzna Furijeova transformacija od H(w) će ponovo dati vrednost h(t), ali će član pi*D(w) dati vrednost 1/2 za t=0.

Literatura: Ilija Stojanović: Osnovi Telekomunikacija, Građevinska knjiga 1977, strana 190-192

Re: Dirakova delta f-ja 25.04.2007. u 09:54 · pre 237 meseci #8

Ja sam cuo od jednog profesora da se to 1/2 uvodi zbog Fermi - Dirakove statistike.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dirakova delta f-ja 25.04.2007. u 20:58 · pre 237 meseci #9

Kakve tegobe ima rečena statistika ako se ne uvede ova 1/2?

Re: Dirakova delta f-ja 30.04.2007. u 21:14 · pre 237 meseci #10

Takođe je interesantan i Gibsov fenomen, videti:

http://mathworld.wolfram.com/GibbsPhenomenon.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon

Re: Dirakova delta f-ja 15.05.2007. u 10:48 · pre 237 meseci #11

Ne znam to bih i ja voleo da znam. Verovatno nije zbog teskoca nego zbog bolje fizicke interpretacije.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dirakova delta f-ja 15.05.2007. u 17:25 · pre 237 meseci #12

Citat:

mcetina2: Hint:
$\delta(x-x_0)$ nije funkcija. Medjutim, $f \rightarrow \int_{a}^{b} f(x) \delta(x-x_0)$ jeste dobro definisan linearni operator za dovoljno glatke funkcije f(x).

Nije mi baš najjasnije kako može biti dobro definisan integral nečega što nije dobro definisano. No, pustimo sad to.

Sa $\cal D$ označimo skup svih beskonačno diferencijabilnih funkcija $f:R\longrightarrow R$ takvih da je skup $\{x\in R:f(x)\neq 0\}$ ograničen. Elemente skupa $\cal D$ zovemo osnovnim funkcijama.

Za proizvoljne realne funkcije $f_1,\dots,f_n$ definisane na istom domenu $A$ i proizvoljne realne konstante $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ pod funkcijom $\lambda_1f_1+\cdots+\lambda_nf_n$ podrazumevaćemo funkciju $g$ definisanu jednakošću $g(x)=\lambda_1f_1(x)+\lambda_nf_n(x).$ U tom slučaju, funkciju $g$ zovemo i jednom linhearnom kombinacijom funkcija $f_1,\dots,f_n.$

Skup $\cal D$ obrazuje vektorski prostor, što znači da je linearna kombinacija funkcija iz tog skupa takođe u tom skupu. Pod linearnim funkcionalom podrazumevaćemo preslikavanje $\varphi:{\cal D}\longrightarrow R$ za koje je $\varphi(\lambda_1f_1+\cdots+\lambda_nf_n)=\lambda_1\varphi(f_1)+\cdots+\lambda_n\varphi(f_n)$ za ma koje $f_1,\dots,f_n\in\cal D$ i $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in R.$

Za niz funkcija $f_n\in\cal D$ ćemo reći da konvergira ka funkciji $f\in\cal D$ kada $n$ teži beskonačnosti i pisaćemo $\lim_{n\rightarrow+\infty}f_n=f$ ako postoji ograničen skup $B\subseteq R$ takav da je $f_n(x)=0$ za svako $n\in N$ i $x\in R\setminus B$ i ako za svaki prirodan broj $m$ i svako $\varepsilon>0$ postoji prirodan broj $N$ takav da za svako $x\in R$ i svako $n\geq N$ važi $|f_n^{(m)}(x)-f^{(m)}(x)|<\varepsilon,$ gde ${}^{(m)}$ označava $m$ -ti izvod date funkcije.

Za niz realnih brojeva $a_n$ ćemo reći da konvergira ka realnom broju $a$ kada $n$ teži beskonačnosti i pisaćemo $\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n=a$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji prirodan broj $N$ takav da za svako $n\geq N$ važi $|a_n-a|<\varepsilon.$

Pod distribucijom podrazumevamo liearni funkcional $\varphi:{\cal D}\longrightarrow R$ takav da za ma koje $f\in\cal D$ i niz $f_n\in\cal D$ za koji je $\lim_{n\rightarrow+\infty}f_n=f$ važi $\varphi(f)=\lim_{n\rightarrow+\infty}\varphi(f_n).$ Skup svih distribucija obeležavamo sa ${\cal D}'.$ Ako je $\varphi$ distribucija, a $f$ osnovna funkcija, umesto $\varphi(f)$ pisaćemo $\langle\varphi,f\rangle.$

Preslikavanje koje svakoj osnovnoj funkciji pridružuje njenu vrednost u tački 0 ispunujava uslove iz definicije distribucije. Obeležavamo ga sa $\delta$ i zovemo je Dirakovom distribucijom. Dakle, po definiciji Dirakove distribucije je $\langle\delta,f\rangle=f(0).$

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dirakova delta f-ja 15.05.2007. u 17:47 · pre 237 meseci #13

Ako je $\varphi:R\longrightarrow R$ lokalno integrabilna funkcija (što znači da na svakom ograničenom intervalu ima smisla govoriti o njenom integralu), onda se odgovarajuća distribucija obeležava istim simbolom i definiše sa
$\langle\varphi,f\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)f(x)\,dx$ To je uvek distribucija i distribucije koje opisanim postupkom nastaju od obi;nih lokalno integrabilnih funkcija yovemo regularnim ditribucijama. Sve ostale distribucije zovemo singularnim. Dirakova distribucija je primer singularne distribucije. Sa druge strane, izvod $\varphi'$ proizvoljne distribucije $\varphi$ (regularne ili singularne) se definiše jednakošću
$\langle\varphi',f\rangle=-\langle\varphi,f'\rangle.$

Najzad, da izračunamo izvod Hevisajdove distibucije H. Za proizvoljno $f\in D$ važi
$\langle H',f\rangle=-\langle H,f'\rangle=-\int_{-\infty}^{+\infty}H(x)f(x)\,dx=-\int_0^{+\infty}f(x)\,dx=f(0)-f(+\infty)=f(0)=\langle\delta,f\rangle.$
Pošto ovo važi za svako $f\in\cal D,$ sledi da je $H'=\delta.$

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Dirakova delta f-ja 20.05.2007. u 17:37 · pre 237 meseci #14

Mislim da je ovo i istorijski veoma zanimljivo. Naime Dirak je napisao "Metode kvantne fizike" gde je pomocu delta fje uradio sva izvodjenja i dobio rezultate. Kasnije je Neumann sve ovo egzaktno izveo matematicki primenom mera i to napisao u delu "Matematicke metode kvantne fizike", ali je dobio rezultate koji su se poklapali sa Dirakovim :) Te nije oborio Dirakovu teoriju vec joj je samo pomogao da stane na noge!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dirakova delta f-ja 15.07.2007. u 21:00 · pre 235 meseci #15

Imam pitanja. Naime receno je gore da je delta fja linearan operator, ali takodje i da je distribucija. Da li je pravilno reci da je nesto i operator i distribucija? To me malo zbunjuje. I da li je pravilno reci da je delta fja prosirenje Kronekerovog delta simbola na kontinuum? Zaista bih voleo da neko odgovori na ova pitanja! I zaista me buni kad neko kaze "dovoljno" glatka fja ili "dovoljno" lepa fja ili sl

Sta znaci to "dovoljno" i koliko je to "dovoljno"? Unapred hvala na odgovoru!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dirakova delta f-ja 16.07.2007. u 01:55 · pre 235 meseci #16

Citat:

petarm: Imam pitanja. Naime receno je gore da je delta fja linearan operator, ali takodje i da je distribucija. Da li je pravilno reci da je nesto i operator i distribucija? To me malo zbunjuje. I da li je pravilno reci da je delta fja prosirenje Kronekerovog delta simbola na kontinuum? Zaista bih voleo da neko odgovori na ova pitanja! I zaista me buni kad neko kaze "dovoljno" glatka fja ili "dovoljno" lepa fja ili sl :) Sta znaci to "dovoljno" i koliko je to "dovoljno"? Unapred hvala na odgovoru!

Ja se nadam da ovde nisu pomešao pojam distribucije u statističkom smislu i pojam distrubucije u funkcionalnoj analizi. Delta funkcija je ovo drugo. Inače u prostor distribucija $C_0^{\infty}(\mathbb{R})'$ u funkcionalnoj analizi se definiše kao skup linearnih funkcionala (odatle operatorski deo) koji deluju na prostor $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ , tj. prostor svih beskonačno diferencijabilnih funkcija koje su van nekog konačnog intervala jednake nuli. Dakle distribucija $\phi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})'$ je preslikavanje $\phi : C_0^{\infty}(\mathbb{R})\mapsto \mathbb{R}$ koje je pri tome linearno tj. za $\phi\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})'$ i $f,g\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ važi $\phi(af+bg)=a\phi f+b \phi g$ gde su a i b konstante . Pri tome su distribucije neprekidne u odnosu na Švarcovu konvergenciju u $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ , tj za niz funkcija $f_n\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ koji konvegira u Švarcovom smislu ka funkciji $f\in C_0^{\infty}(\mathbb{R})$ važi da $\phi(f_n)\rightarrow \phi(f)$ (ovo je ono što je Nedeljko napisao samo na malo fizičarskiji način).

Prostor svih beskonačno diferencijabilnih funkcija koje su van nekog konačnog intervala jednake nuli je uzet upravo zbog svojstva "dovoljne glatkosti". Matematičarima to nije bitno i njima su daleko interesantniji funkcionalni prostori koji nisu tako "pitomi". Međutim, pošto je analiza osnovno matematičko oruđe kojim se služe fizičari, njima je potrebno da funkcije uvek mogu da se diferenciraju, integrale, razvijaju u redove itd. do mile volje. Srećna okolnost (možda je ovde bolje upotrebiti reč "nužnost") je da se priroda zapravo i ponaša na "gladak" način, tj. malom uzroku odgovaraju i male posledice (u malim vremenskim intervalima) tako da su u osnovi funkcije kojima opisujemo prirodu glatke. Usput je ubačen i zahtev da funkcije budu nenulte samo unutar nekog konačnog intervala što odgovara prirodi jer su u osnovi svi sistemi kojima se bavimo lokalizovani u konačnom delu prostora (ma koliko veliki on bio)

Re: Dirakova delta f-ja 16.07.2007. u 02:57 · pre 235 meseci #17

Ja bih ustvari distribucije u smislu funkcionalne analize mogao definisati kao granice neprekidnih fja. Zar ne?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Dirakova delta f-ja 16.07.2007. u 11:49 · pre 235 meseci #18

Da. Dokazuje se da se prostor raspodela $C_0^{\infty}(\mathbb{R})'$ sastoji od limesa Koši-konvergentih nizova iz $C_0^{\infty}(\mathbb{R})$

Re: Dirakova delta f-ja 16.07.2007. u 14:47 · pre 235 meseci #19

Citat:

petarm: I da li je pravilno reci da je delta fja prosirenje Kronekerovog delta simbola na kontinuum?

U rigoroznom matematičkom smislu: Nemam pojma, zato što ne znam kako matematičari definišu "proširenje" Kronekereovog simbola na kontinuum, ako uopšte to i rade.

U smislu analogija: Može se reći zato što ako integral posmatramo kao "kontinualnu sumu" delta funkcija se ponaša kao Kronekerov simbol zato što "ubija" sumu. Slikovitije:

Ovako deluje Kronekerov simbol
$\sum\limits_i \delta_{ij} {x_i } = x_j$

Ovako deluje delta funkcija
$\int \delta(x-y) f(x) dx = f(y)$

Kao što vidiš, upotreba je totalno analogna.

Re: Dirakova delta f-ja 16.07.2007. u 22:16 · pre 235 meseci #20

Znam to. Dirakova delta fja i ima to delta u imenu od Kronekerovog delta simbola. Iz razloga koji si naveo. Pitanje ostaje i dalje da li delta fju mogu posmatrati kao prosirenje Kronekerovog delta simbola na kontinuum?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme