Matematička indukcija

Ovo je zadatak broj 377. iz Zbirke zadataka iz više matematike 1, Uščumlić, Miličić, iz oblasti matematičke indukcije:

Dokazati da je [(2n)!]/[n!*(n+1)!] prirodan broj za svako n koje pripada N.

Zadatak ne znam riješiti, a bio bih zahvalan kada bi mi neko pokazao rješenje.

Pozdrav svima na forumu.

Lako je. Dokazes da vazi za 1.
Pretpostavis da vazi za n i onda uz pomoc te prertpostavke(koristeci je) dokazes da vazi za n+1.

Zahvljujem na podsjećanju na principe matematičke indukcije. Inače zadaci iz matematiče indukcije su vrlo lagani, i brzo se dokažu, ali ovaj gornji nikako ne uspijevam riješiti. Dakle, u gornjem zadatku ne mogu da pređem treći korak, ili ako hoćete, i drugi i treći jer su nerazdvojni. Opet molim ako neko zna riješti zadatak da to objavi, bio bih mu zahvalan.

Puno pozdrava svim matematičarima.

Da vidimo.



Za je

Ako pretpostavimo da je za za neko n f(n) ceo broj,







I sad treba dokazati da je ovaj razlomak celobrojan. A nije. Izgleda da sam negde pogrešio.

Potpis

int rand(void);

Those who do not understand Unix are condemned to reinvent it, poorly.

Upali lampicu — koristi Jabber!

Nije greška, nego je onaj koji treba da skrati sakriven. Ako budem imao vremena, potražiću ga.

Pa treba još proveriti da je , možda može i to matematičkom indukcijom.

Potpis

Možda se moje mišljenje promenilo, ali ne i činjenica da sam u pravu.

Možda pokušati naći neki pattern?
n=1 f(n)=1
n=2 f(n)=2
n=3 f(n)=5
n=4 f(n)=14
n=5 f(n)=42
n=6 f(n)=132
n=7 f(n)=429
n=8 f(n)=1430
n=9 f(n)=4862
n=10 f(n)=16796

Nadam se da je ovo tačno. Kod mat. indukcije takođe može biti slučaj da u drugom koraku pretpostavimo da je tvrdnja tačna za k<=n, pa da onda dokazujemo za k=n+1.

Iz gornjeg mi se čini da f(n)/(n+2) nije prirodan broj

Pozdrav svima i hvala što postujete na ovu temu.

Ima tu još i dvojka koja može da pomogne.
2n+1 ne može, jer je

a što je ceo broj samo za n=1, pa ne pomaže mnogo...

moderator: sređen kod.

[Ovu poruku je menjao tOwk dana 10.06.2003. u 18:35 GMT]

E, a ko kaže da

mora da bude ceo broj?

Mislim ako je P(n) ceo broj, to znači samo da (n+1)(n+2) mora da deli P(n)

Potpis

coito ergo sum - Marko Jovanović

Taj „savet“ je dat još ranije (samo nešto jednostavnije, pošto ).

I u tom kontekstu su i mene već ispravili, pa „samo“ treba da . Čak, čini mi se da se može dobiti i razdvajanjem razlomka na dva dela (kako je već opisano).

Potpis

Možda se moje mišljenje promenilo, ali ne i činjenica da sam u pravu.

Probaj da resis sledeci zadatak:
Imas dve osobe - osoba A koja stoji na tacki (1, 0) i osoba B koja stoji na tacki (0, 1). Njihov cilj je da stignu u tacku (n+1, n) krecuci se samo "gore" i "desno", koracima duzine 1. Ti treba da nadjes razliku izmedju broja razlicitih puteva koji su na raspolaganju osobi A i broja razlicitih puteva koje moze da odabere osoba B. Kad resis ovaj zadatak, cuces odgovor na svoj zadatak.

Hah! Izvanredan 'hint'! Da, zaista se dobije:



tj,



odnosno



Pošto je broj kombinacija bez ponavljanja prirodan broj, to je i razlika takva dva broja prirodan broj (jer se dobije pozitivna veličina). Čini mi se da je time zadatak dokazan? (nisam dokazivao da je broj kombinacija bez ponavljanja prirodan broj) Samo me buni, gdje se tu koristi mat. indukcija. Možda su autori zbirke imali neko drugo rješenje u vidu?
Pozivam daljnje komentare.

Opet puno pozdrava svima, a veliko hvala gosp. Kolundziji - super.

Samo mala ispravka : drugi red nije u redu, jer je gore 2(n-1) = 2n-2.
A ono poslednje i nije potrebno.
U svakom slučaju nije za indukciju, mada može i tako.

Molio bih sve one koji imaju još ideja za rješenje zadatka, da ih napišu. Moj prethodni post jeste tačan (uredu je 2. red), ali mi je glupo da se rješenje zasniva na prilično nevjerovatnoj intuiciji ili iskustvu sa zadatkom sa sličnim rješenjem. Autori ove odlične zbirke ne bi dali taj zadatak u oblasti mat. indukcije tek onako?

Pozdravi svima!

Hm da, izgleda da zaista jeste... sorry. Mislio sam da si to jednostavno dobio tako što si u prethodnom zamenio n sa n-1, kao što izgleda da je urađeno na desnoj strani? To mi je izgledalo najjednostavnije, a neko posebno dokazivanje za nešto drugo suvišno, jer tebe interesuje samo da napraviš pozitivnu razliku dva prirodna broja. Ali kada je to već učinjeno, zar nije tu kraj? Jedino ako želiš sledeći red da iskoristiš u indukciji. Mada je nacimavanje na indukciju malo bezveze kad već postoji ovakvo rešenje (veži konja gde ti gazda kaže ;).

Da, tu jeste kraj.
Ali me interesuje i rješenje putem mat. indukcije koje vjerovatno nema veze sa ovim gore. Ali, eto, da ne bi bio dosadan, neću to više spominjati poslije ovog posta.

Pozdravi

Ja sam pokušao da kažem da je , ali vidim da si našao i drugi način.
Ako baš hoćeš da se bakćeš sa indukcijom, probaj ovako:

U brojiocu i imeniocu imaš proizvod od (n-2) uzastopna prirodna broja (još u brojiocu imaš i onu trojku ako ti zatreba), i treba da dokažeš da je taj razlomak ceo broj.