Algebarski zadatak Molim resenje! Teorija brojeva

Algebarski zadatak Molim resenje! Teorija brojeva 18.04.2007. u 22:27 · pre 237 meseci #1

Nasao sam ovaj zadatak u jednoj zbirci za 3.razred gimnazije i ne mogu da ga resim

Dokazati da je n^4 - 2n^3 +11n^2 + 62 deljivo sa 24.

Ja sam posao od ovoga: 24 sam razdvoio na 4 i 6. Broj je deljiv sa 6 kada je u obliku n^3-n ali nista nisam uspeo da uradim u vezi toga. Broj je deljiv sa 2 kada je u obliku n^2+n odnosno n^2-n.
Veoma sam zainteresovan za ovaj zadatak. Radio sam ga 1.5h ali nista. Uostalom ja sam osmi razred osnovne skole ali mislim da to nije tesko uraditi, samo ima neka caka.

Re: Algebarski zadatak Molim resenje! Teorija brojeva 18.04.2007. u 23:06 · pre 237 meseci #2

Jesi li siguran da si dobro napisao tekst zadatka?

Za n=1 i n=2 navedeni izraz nije deljiv sa 24, a dalje nisam proveravao...

Re: Algebarski zadatak Molim resenje! Teorija brojeva 18.04.2007. u 23:11 · pre 237 meseci #3

Oprostite svima. Popravio sam zadatak nije + 60 nego +62

Re: Algebarski zadatak Molim resenje! Teorija brojeva 18.04.2007. u 23:17 · pre 237 meseci #4

Posle ove ispravke, izraz je deljiv sa 24 kada je n=1, ali ne i kada je n=2...
Proveri to još jednom.

Re: Algebarski zadatak Molim resenje! Teorija brojeva 18.04.2007. u 23:21 · pre 237 meseci #5

Tacno je, ali meni treba dokaz tog zadatka (opste resenje) npr. (n^3-5n)(n^2+2n)U tom smislu mi treba resenje.

Re: Algebarski zadatak Molim resenje! Teorija brojeva 18.04.2007. u 23:30 · pre 237 meseci #6

Žao mi je, ali nije moguće dokazati nešto što nije tačno. Ovaj izraz, čak i sa ovom ispravkom, nije deljiv sa 24 za svako n.

Da ne treba možda umesto 62 da stoji 62n?

Re: Algebarski zadatak Molim resenje! Teorija brojeva 19.04.2007. u 08:22 · pre 237 meseci #7

Kako bi onda izgledalo resenje?

Re: Algebarski zadatak Molim resenje! Teorija brojeva 19.04.2007. u 11:32 · pre 237 meseci #8

Ako misliš na slučaj sa $62n$ , on može da se dokaže primenom matematičke indukcije. Možda može i na jednostavniji način, ali ovo je jedino što mi za sada pada na pamet.

1) prvo se dokaže da je iskaz zadovoljen za $n=1$ :

$1^4 - 2\cdot 1^3 +11\cdot 1^2 + 62\cdot 1=1-2+11+62=72=3\cdot 24$

2) zatim se dokazuje da, ako je iskaz tačan za neko $n$ , biće tačan i za $n+1$ :

$(n+1)^4 - 2(n+1)^3 +11(n+1)^2 + 62(n+1)=\cdots =n^4+2n^3+11n^2+82n+72$

$n^4+2n^3+11n^2+82n+72=(n^4 - 2n^3 +11n^2 + 62n)+(4n^3+20n+72)$

Pošto je izraz u prvoj zagradi po pretpostavci deljiv sa $24$ , treba dokazati da je izraz u drugoj zagradi, $4n^3+20n+72$ takođe deljiv sa $24$ . Pošto je $24|72$ , to dokazivanje se svodi na dokazivanje da je $24|(4n^3+20n)$ .

$4n^3+20n=4(n^3+5n)=4(n^3-n+6n)$

$n^3-n$ je deljivo sa $6$ za svako $n$ , samim tim će i $n^3-n+6n$ biti deljivo sa $6$ za svako $n$ .
$4(n^3-n+6n)$ je, prema tome, deljivo sa $24$ za svako $n$ .

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme