Hamiltonov operator u sfernim i cilindricnim koordinatama

Hamiltonov operator u sfernim i cilindricnim koordinatama 30.03.2007. u 10:46 · pre 238 meseci #1

Ako neko ima da okaci nesto vezano za ovu temu puno bi mi koristilo. Unapred hvala!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Hamiltonov operator u sfernim i cilindricnim koordinatama 30.03.2007. u 20:39 · pre 238 meseci #2

Pretpostavljas da mislis na kvantni Hamiltonijan. U tom slucaju treba ti operator p^2 odnosno $-\hbar^2\nabla^2/(2m)$ tj sam $\nabla^2$ u tvom omiljenom koordinatnom sistemu.

Tu puuuuno pomaze ako razmislis o tome sta $\nabla^2$ u stvari geometrijski predstavlja.
Pa, geometrijski gledano, to je divergencija gradijenta. A divergencija je definisana cinjenicom da za svaku zapreminu V i vektorsko polje v u toj zapremini,
$\int_V (\nabla\cdot v) dV = \int_{\partial V} v\cdot dA$

Ovo pak mozes da iskazes u raznim koordinatnim sistemima za elementarnu zapreminu dV u tom sistemu i na taj nacin sracunas divergenciju.

Ovde cu da predlozim jednu alternativu ovom postupku. Ono sto ti u kvantnoj u stvari treba su matricni elementi $\int dV \bar{\psi}\nabla^2 \phi$ .
Ako su talasne funkcije $\psi$ i $\phi$ normalizovane, onda teze nuli u beskonacnosti. Stoga:
$\int dV \bar{\psi}\nabla^2 \phi = \int dV \bar{\psi}\nabla\cdot(\nabla\phi) = \int dV \nabla\cdot(\bar\psi\nabla\phi) - \int dV (\nabla\bar\psi)\cdot(\nabla\phi)$ gde $\int dV \nabla\cdot(\bar\psi\nabla\phi) = \int_{\partial V}\bar\psi\nabla\phi \cdot dA = 0$ .

E, sad, u tvom omiljenom koordinatnom sistemu, $\nabla\bar\psi\cdot\nabla\phi = g^{ab}(\partial_a\bar\psi)(\partial_b\phi)$ gde je $g_{ab}$ metricki tenzor u tom koordinatnom sistemu. Ako koordinate odaberes na iole razuman nacin, g ce biti dijagonalna matrica. Npr, u sfericnim kordinatama,
$\nabla\bar\psi\cdot\nabla\phi = (\partial_r\bar\psi)(\partial_r \phi) + r^{-2} (\partial_\theta \bar\psi)(\partial_\theta \phi) + r^{-2} sin^{-2}\theta (\partial_\phi \bar\psi) (\partial_\phi \phi)$

E, sad, istim postupkom kao gore, ali u tvom koordinatnom sistemu, prebacis vratis sve izvode $\bar\psi$ na izvode $\phi$ . Npr., zapreminski integral drugug gorenavedenog clana transformises kao
$\int_0^{\infty}dr\int_0^\pi d\theta\int_0^{2\pi}d\phi r^{-2} (\partial_\theta \bar\psi)(\partial_\theta \phi) r^2 \sin\theta$
$=\int_0^{\infty}dr\int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi d\theta \partial_\theta( \sin(\theta) \bar\psi (\partial_\theta \phi))-\cos(\theta)\bar\psi(\partial_\theta \phi) - \sin(\theta) \bar\psi \partial_{\theta\theta}\phi$
gde, posto $\sin(0,\pi) = 0$ ,
$\int_0^\pi d\theta \partial_\theta( \sin(\theta) \bar\psi (\partial_\theta \phi)) = 0$
i gornji integral mozes da napises kao
$-\int_0^{\infty}dr\int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi d\theta (r^2 \sin(\theta)) \bar\psi (r^{-2}cot(\theta) \partial_\theta \phi + r^{-2}\partial_{\theta\theta}\phi)$
$=-\int dV \bar\psi (r^{-2}\cot(\theta)\partial_\theta\phi + r^{-2}\partial_{\theta\theta}\phi)$

Slicnim postupkom iz treceg clana dobijes:
$-\int dV \bar\psi (r^{-2}\partial_{\phi\phi}\phi)$
a iz prvog
$-\int dV \bar\psi \partial_{rr}\phi$
Poredjenjem ovog rezultata sa ocekivanim $-\int dV \bar\psi \nabla^2\phi$ , u sfericnim koordinatama imas
$\nabla^2 \psi = \partial_{rr}\psi + r^{-2}\partial_{\phi\phi}\psi + r^{-2}\partial_{\theta\theta}\psi + r^{-2}\cot(\theta) \partial_\theta\psi$

Re: Hamiltonov operator u sfernim i cilindricnim koordinatama 30.03.2007. u 20:54 · pre 238 meseci #3

Ovde sam pretpostavio da vec znas da je element zapremine u sfericnim koordinatama $r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi$ .
Takodje sam pretpostavio da umes da napises $(\nabla \psi) \cdot (\nabla \phi)$ u tvom omiljenom koordinatnom sistemu. Ako te moje spominjanje metrike zbunjuje, potrazi ili razmisli malo o mom iskazu za ovu velicinu sam -- zaboravi na metriku i tenzore.

Jos par komentara o ovom izvodjenju. Neko "vican" diferencijalnoj geometriji rekao bi nesto u stilu:
Pa, prvo sracunas $\nabla_a \phi$ . To ti je vektorsko polje. Onda sracunas $\nabla_b \nabla_a \phi$ . Posto drugi izvod $\nabla_b$ deluje na vektorsko polje, moramo da koristimo pravi izraz za kovarijantni izvod vektora u zadatim koordinatama. To obuhvata Christoffel-ove simbole koje onda moramo da sracunamo ( $\nabla_a v^b = \partial_a v^b + \Gamma_{ac}^b v^c$ ). Na posletku kontraktujemo a i b indekse metrikom i dobijemo rezultat.

Bullshit, kazem ja. Divergencija vektorskog polja ima mnogo jasniju geometrijsku interpretaciju (zapreminski integral divergencije jednak je povrsinskom integralu vektora). A za ovu interpretaciju uopste *nije potreban* kovarijantni izvod, niti konekcija, niti Christoffel-ovi simboli -- potrebna je samo metrika! Zato ako nekoga pitas za rotor i divergenciju u proizvoljnim koordinatama (ili pak proizvodljno zakrivljenom prostoru!) i kada ti onda pocne pricu o Christoffelovim simbolima, ucutkaj ga :)

Speaking of curved spaces --
Procedura koju sam opisao za izracunavanje $\nabla^2$ vazi u proizvoljno zakrivljenim prostorima bez modifikacije! Sve sto je potrebno je ubaciti odgovarajuci izraz za metriku odnosno za $(\nabla\phi) \cdot (\nabla\psi)$ . Ovaj izraz ionako definise geometriju prostora -- a, preko navedenog izvodjenja, definise i prilicno jednostavno $\nabla^2$ (Laplacijan).

Tako npr. za vezbu mozes da sracunas $\nabla^2$ skalarnog polja $\psi$ u Schwarzschildovoj geometriji izvan nerotirajuce crne rupe. A cemu to sluzi.... e... to je dobro pitanje :)

End of rant--
Marko

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme