[es] - Hamiltonov operator u sfernim i cilindricnim koordinatama

mcetina2
Marko Cetina
Grad student (fizika)
Cambridge, MA (SAD)

Član broj: 125398
Poruke: 220
*.MIT.EDU.

Profil

Re: Hamiltonov operator u sfernim i cilindricnim koordinatama

^{30.03.2007. u 19:39 - pre 207 meseci}

Pretpostavljas da mislis na kvantni Hamiltonijan. U tom slucaju treba ti operator p^2 odnosno

tj sam

u tvom omiljenom koordinatnom sistemu.

Tu puuuuno pomaze ako razmislis o tome sta

u stvari geometrijski predstavlja.
Pa, geometrijski gledano, to je divergencija gradijenta. A divergencija je definisana cinjenicom da za svaku zapreminu V i vektorsko polje v u toj zapremini,

Ovo pak mozes da iskazes u raznim koordinatnim sistemima za elementarnu zapreminu dV u tom sistemu i na taj nacin sracunas divergenciju.

Ovde cu da predlozim jednu alternativu ovom postupku. Ono sto ti u kvantnoj u stvari treba su matricni elementi

.
Ako su talasne funkcije

normalizovane, onda teze nuli u beskonacnosti. Stoga:

gde

.

E, sad, u tvom omiljenom koordinatnom sistemu,

gde je

metricki tenzor u tom koordinatnom sistemu. Ako koordinate odaberes na iole razuman nacin, g ce biti dijagonalna matrica. Npr, u sfericnim kordinatama,

E, sad, istim postupkom kao gore, ali u tvom koordinatnom sistemu, prebacis vratis sve izvode

na izvode

. Npr., zapreminski integral drugug gorenavedenog clana transformises kao

gde, posto

i gornji integral mozes da napises kao

Slicnim postupkom iz treceg clana dobijes:

a iz prvog

Poredjenjem ovog rezultata sa ocekivanim

, u sfericnim koordinatama imas

Odgovor na temu

mcetina2
Marko Cetina
Grad student (fizika)
Cambridge, MA (SAD)

Član broj: 125398
Poruke: 220
*.MIT.EDU.

Profil

Re: Hamiltonov operator u sfernim i cilindricnim koordinatama

^{30.03.2007. u 19:54 - pre 207 meseci}

Ovde sam pretpostavio da vec znas da je element zapremine u sfericnim koordinatama

.
Takodje sam pretpostavio da umes da napises

u tvom omiljenom koordinatnom sistemu. Ako te moje spominjanje metrike zbunjuje, potrazi ili razmisli malo o mom iskazu za ovu velicinu sam -- zaboravi na metriku i tenzore.

Jos par komentara o ovom izvodjenju. Neko "vican" diferencijalnoj geometriji rekao bi nesto u stilu:
Pa, prvo sracunas

. To ti je vektorsko polje. Onda sracunas

. Posto drugi izvod

deluje na vektorsko polje, moramo da koristimo pravi izraz za kovarijantni izvod vektora u zadatim koordinatama. To obuhvata Christoffel-ove simbole koje onda moramo da sracunamo (

). Na posletku kontraktujemo a i b indekse metrikom i dobijemo rezultat.

Bullshit, kazem ja. Divergencija vektorskog polja ima mnogo jasniju geometrijsku interpretaciju (zapreminski integral divergencije jednak je povrsinskom integralu vektora). A za ovu interpretaciju uopste *nije potreban* kovarijantni izvod, niti konekcija, niti Christoffel-ovi simboli -- potrebna je samo metrika! Zato ako nekoga pitas za rotor i divergenciju u proizvoljnim koordinatama (ili pak proizvodljno zakrivljenom prostoru!) i kada ti onda pocne pricu o Christoffelovim simbolima, ucutkaj ga :)

Speaking of curved spaces --
Procedura koju sam opisao za izracunavanje

vazi u proizvoljno zakrivljenim prostorima bez modifikacije! Sve sto je potrebno je ubaciti odgovarajuci izraz za metriku odnosno za

. Ovaj izraz ionako definise geometriju prostora -- a, preko navedenog izvodjenja, definise i prilicno jednostavno

(Laplacijan).

Tako npr. za vezbu mozes da sracunas

skalarnog polja

u Schwarzschildovoj geometriji izvan nerotirajuce crne rupe. A cemu to sluzi.... e... to je dobro pitanje :)

End of rant--
Marko

Odgovor na temu