Zadatak iz matematicke indukcije

Zadatak iz matematicke indukcije 07.11.2006. u 07:57 · pre 243 meseci #1

Postovanje,

Imam dosta nekih zadataka koje ne mogu da rijesim, ali krenucu sa laksim:

84|4²ⁿ - 3²ⁿ - 7

potrebno je dokazati ovu tvrdnju putem matematicke indukcije.

Nakon razvijanja sa n=k+1
dobija se:

4^2k+2 - 3^2k+2 - 7 = 16*4^2k - 9*3^2k - 7 =

= e sad sta i kako dalje??? Pokusavao sam na razne nacine (dodavanjem i oduzimanjem,
kako bi dobio n*(4^2k-3^2k-7) + 'nesto' - sto bih dokazao da je djeljivo sa 84,
ali mi nikako ne ide... npr, dobijem 9(4^2k - 3^2k - 7) + 7*4^2k +7*8

Pozdrav

Re: Zadatak iz matematicke indukcije 07.11.2006. u 15:41 · pre 243 meseci #2

Pa, prvo da pojednostavimo i stavimo $a_n=16^n-9^n-7$

Tada je

$a_{n+1}-a_n &=& 15\cdot 16^n-8\cdot 9^n\\ &=& 3\cdot 4(5\cdot 4\cdot 16^{n-1}-2\cdot 3\cdot 9^n)\\ &=& 12(20\cdot 16^{n-1}-6\cdot 9^{n-1})\\ &=& 12(21\cdot 16^{n-1}-7\cdot 9^{n-1}-16^{n-1}+9^{n-1})\\ &=& 12(21\cdot 16^{n-1}-7\cdot 9^{n-1}-(a_{n-1}+7))\\ &=& 84(3\cdot 16^{n-1}-9^{n-1}-{a_{n-1}\over 7}-1)$

Dakle, $a_{n+1}=a_n+84(3\cdot 16^{n-1}-9^{n-1}-{a_{n-1}\over 7}-1)$ . Sada je lako: $a_1=0, a_2=168=2\cdot 84$ , a ako je $a_{n-1}$ deljiv sa 84, onda je deljiv i sa 7.

Re: Zadatak iz matematicke indukcije 08.11.2006. u 01:43 · pre 242 meseci #3

Hvala velika. Izvanredno rjesenje!
Medjutim imam i dalje jedan problem, a to je sto mi i dalje nije jasno kako da ovaj princip napravim malo univerzalnijim...
slican zadatak, ali ne mogu da primjenim isti,slican ili drugaciji pristup... (ili bih mozda trebao ici malo odspavati???)

27|10²ⁿ + 9n + 26

Idem istim principom matematicke indukcije i dolazim do sledece tacke, gdje nekako gubim fokus...:

a_n+1 - a_n = 99*10²ⁿ + 9

Kako sad da izadjem iz ovog zacaranog kruga? 27 je 3³, 9 je 3² i sve imam osjecaj da su mi rjesenja pred nosom, ali ih ne vidim... Vjerovatno pad koncentracije...

Puno pozdrava,

Re: Zadatak iz matematicke indukcije 08.11.2006. u 02:43 · pre 242 meseci #4

Prvo, otarasi se činilaca u eksponentu, tj. piši $100^n$ .

Drugo, nisi daleko. Poenta je da "pakuješ" faktore tako da ispred zagrade dobiješ ono što ti treba, dakle 27. Prema tome

$a_{n+1}-a_n=99\cdot 100^n+9=9(11\cdot 100^n+1)$

Sad bi nam dobro došla i jedna trojčica da je izvučemo iz zagrade, pa ćemo "napakovati" dvanaesticu od jedanaestice:

$a_{n+1}-a_{n}=9(12\cdot 100^n-100^n+1)$

E sad je ključ: Ovaj $100^n$ "viška" izraziš preko $a_n$ : $100^n=a_n-9n-26$ , pa dobijaš

$a_{n+1}-a_{n}=9(12\cdot 100^n-a_n+9n+26+1)=9(12\cdot 100^n-a_n+9n+27)=27(4\cdot 100^n-{a_n\over 3}+3n+9)$

I tu je kraj, pošto je $a_1=135=5\cdot 27$ , a ako je $a_n$ deljiv sa 27, deljiv je i sa 3.

(A možeš izraz i malo srediti pa dobiti $a_{n+1}=a_n-27\cdot{a_n\over 3}+27\cdot(\mathrm{ostatak\ zagrade})=-8a_n+27\cdot(\mathrm{ostatak\ zagrade})$ , i pravolinijski imaš induktivni korak.)

_{[Ovu poruku je menjao Farenhajt dana 08.11.2006. u 03:55 GMT+1]}

Re: Zadatak iz matematicke indukcije 30.10.2008. u 20:23 · pre 218 meseci #5

moze li milim te korak po korak obzirom da sam mrtvi pocetnik !
znacice mnogo u razvoju mojih vjestina iz math!
hvala hvala

Re: Zadatak iz matematicke indukcije 31.10.2008. u 11:27 · pre 218 meseci #6

Prvi mozes i ovako:

pretpostavka: $4^{2k}-3^{2k}-7=84m$
za k+1 imas $4^{2k+2}-3^{2k+2}-7=16*4^{2k}-9*3^{2k}-7=9(4^{2k}-3^{2k}-7)+7*4^{2k}+56=9*84m+7*(4^{2k}+8)$
Sad treba dokazati da je $4^{2k}+8$ djeljivo sa 3 posto ocigledno djeljivo sa 4.

$4^{2k}+8=3m;4^{2k+2}+8=15*4^{2k}+4^{2k}+8=3*(5*4^{2k}+m)$ i gotovo.

Drugi kad dodjes do $99*10^{2n}+9=9*(11*10^{2n}+1)$ treba pokazati da je $11*10^{2n}+1$ djeljivo sa 3,( ovaj broj je nesto oblika 110000001 zbir cifara mu je dljeljiv sa 3 pa je i on djeljiv sa 3 i to je to) a mozes da dokazujes da je ovo djeljivo sa 3 posebno kao i kod prvog zadatka.

Srodne teme