[es] - Nejednakosti matematickih sredina

iggy91
Igor Peric
Sopstveni dom
Bijeljina

Član broj: 73330
Poruke: 49
*.rstel.net.

Sajt: www.zmaj.org

Profil

^{15.10.2006. u 07:14 - pre 213 meseci}

Za realne pozitivne brojeve a,b, i c dokazati da vazi nejednakost:

a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 3/2

-----------------------------------------------

Po mom misljenju zadatak treba raditi preko nejednakosti aritmeticke, geometrijske, kvadratne i harmonijske sredine.
jedini problem je da ne znam koje 2 da kombinujem u prvom slucaju, a koje dve u drugom.

Moze li pomoc?

P.S.

Hn - Harmonijska sredina
Gn - Geometrijska sredina
An - Aritmeticka sredina
Kn - Kvadratna sredina

Hn <= Gn <= An <= Kn

Hn = n / (1/a1 +1/a2 +1/a3 + ... +1/an)
Gn = n-ti koren(a1*a2*a3...*an)
An = (a1+a2+a3+...+an) / n
Kn = sqrt ( ( sqr(a1) + sqr(a2) + sqr(a3) + .... + sqr(an) ) / n )

Novac za kola se mora doneti do kraja decembra, znači do 5. decembra.
Posle pada Jakubinaca na vlast dolazi Petar Pan! :)

Odgovor na temu

qzqzqz

Član broj: 66936
Poruke: 219
*.ptt.yu.

Profil

Re: Nejednakosti matematickih sredina

^{15.10.2006. u 08:42 - pre 213 meseci}

Ovo je inace poznata Nesbit-ova nejednakost koja se moze pokazati da razne nacine. Evo jednog resenja koje nije elemenatarno.

Kako je nejednakost homogena to mozhemo uzeti da je

(obicna smena

), pa se nejdnakost svodi na

. Uoicmo da je funkcija

strogo konveksna, pa iz Jensenove nejednakosti dobijamo da je

, shto je i trebalo dokazati. Znako jednakosti vazhi ako i samo ako je

Odgovor na temu