Dokazati identitet sa determinantom - koji je drugi način?

Dokazati identitet sa determinantom - koji je drugi način? 24.09.2006. u 22:56 · pre 245 meseci #1

Prije nekoliko dana sam polagao pismeni ispit iz matematike. Ispit sam položio, ali mi profesor (ili asistent) nije priznao jedan zadatak sa obrazloženjem da to nije pravi način. Ovo je zadatak:

To sam ovako riješio (ovo je sređenija verzija od onoga što sam napisao na ispitu):

$\begin{flushleft} &=ax(a^2+y^2)+az(a^2+x^2)+ay(a^2+z^2)-az(a^2+y^2)-ax(a^2+z^2)-ay(a^2+x^2)\\ &=a^3x+axy^2+a^3z+azx^2+a^3y+ayz^2-a^3z-azy^2-a^3x-axz^2-a^3y-ayx^2\\ &=a(xy^2+zx^2+yz^2-zy^2-xz^2-x^2y)\\ &=a\Bigl(z(x^2+yz-xz)-y(-x^2+zy-xy)\Bigr)\\ &=a\Bigl(z(x^2+yz)-xz^2-y(x^2+yz)+xy^2\Bigr)\\ &=a\Bigl((x^2+yz)(z-y)-x(z^2-y^2)\Bigr)\\ &=a\Bigl((x^2+yz)(z-y)-x(z-y)(z+y)\Bigr)\\ &=a(z-y)(x^2+yz-xz-xy)\\ &=a(z-y)\Bigl(x(x-y)-z(x-y)\Bigr)\\ &=a(z-y)(x-y)(x-z) \end{flushleft}$

Sad me zanima kakav je to drugi način.

Re: Dokazati identitet sa determinantom - koji je drugi način? 24.09.2006. u 23:31 · pre 245 meseci #2

Ono sto si ti koristio je Sarussovo pravilo koje vrijedi za racunanje determinante matrice 3x3 i to je dobro. Stvarno ne vidim zasto ti nije to priznato.

Mozda se eksplicitno trazilo da koristite LaPlaceov razvoj? (No dobio bi isto. Izmedju ostalog onda su trebali dati recimo 4x4 matricu pa vise ne bi mogli korisiti Sarussovo pravilo).

Re: Dokazati identitet sa determinantom - koji je drugi način? 25.09.2006. u 01:08 · pre 245 meseci #3

Ne znam ni ja. Kad budem išao na fax opet žaliću se. Žalio sam se i preko e-maila, ali nema nekog efekta od toga.

Re: Dokazati identitet sa determinantom - koji je drugi način? 25.09.2006. u 03:54 · pre 245 meseci #4

Zadatak se može rešiti upotrebom nekih osnovnih svojstava determinante.

$\left |\begin{array}{ccc} ax & a^2+x^2 & 1\\ ay & a^2+y^2 & 1\\ az & a^2+z^2 & 1\\ \end{array}\right |=a\left |\begin{array}{ccc} x & a^2+x^2 & 1\\ y & a^2+y^2 & 1\\ z & a^2+z^2 & 1\\ \end{array}\right |=a\left |\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1\\ y & y^2 & 1\\ z & z^2 & 1\\ \end{array}\right |=a\left |\begin{array}{ccc} 1 & x & x^2\\ 1 & y & y^2\\ 1 & z & z^2\\ \end{array}\right |$

Ovo poslednje je Vandermondova determinanta

$\left|\begin{array}{ccccc} 1&a_1&a_1^2&\cdots&a_1^{n-1}\\ 1&a_2&a_2^2&\cdots&a_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&a_n&a_n^2&\dots&a_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)$

pa je rešenje $a(y-x)(z-x)(z-y)$ tj. $a(x-y)(x-z)(z-y)$ .

Ako nije jasno šta sam radio:

1. korak: Ako je čitava kolona ili čitava vrsta pomnožena nekim brojem, taj broj se može "izvući" ispred determinante. U konkretnom slučaju izvučen je broj $a$ iz prve kolone.
2. korak: Determinanta ne menja vrednost ukoliko se neka vrsta sabere sa umnoškom neke druge vrste (ili neka kolona sabere sa umnoškom neke druge kolone). U konkretnom slučaju drugoj koloni dodata je treća kolona pomnožena brojem $-a^2$ .
3. korak: Ako dve susedne vrste/kolone zamene mesta - znak determinante se menja. U konkretnom slučaju prvo su mesta zamenile treća i druga kolona, pa nakon toga (novonastala) druga i prva kolona - time je znak determinante promenjen dva puta, pa je isti kao i na početku.

Kako bi rešio zadatak ako ne znaš formulu u vezi sa Vandermondovom determinantom?
Jedna od mogućnosti je da upotrebiš taktiku koja se i koristi prilikom dokaza pomenute formule:

$\left |\begin{array}{ccc} 1 & x & x^2\\ 1 & y & y^2\\ 1 & z & z^2 \end{array}\right | = \left |\begin{array}{ccc} 1 & x & 0\\ 1 & y & y^2-yx\\ 1 & z & z^2-zx \end{array}\right | = \left |\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & y-x & y(y-x)\\ 1 & z-x & z(z-x) \end{array}\right | = \left |\begin{array}{cc} y-x & y(y-x)\\ z-x & z(z-x) \end{array}\right | = (y-x)(z-x)\left |\begin{array}{cc} 1 & y\\ 1 & z \end{array}\right | = (y-x)(z-x)(z-y)$

Dakle:

1. korak: Trećoj koloni je dodata druga kolona pomnožena brojem $-x$ .
2. korak: Drugoj koloni je dodata prva kolona pomnožena brojem $-x$ .
3. korak: Upotrebljen je razvoj po prvoj vrsti (što je naročito zgodno zbog one dve nule).
4. korak: Iz prve vrste izvučen je koeficijent $y-x$ a iz druge vrste koeficijent $z-x$

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Dokazati identitet sa determinantom - koji je drugi način? 25.09.2006. u 15:53 · pre 245 meseci #5

Hvala, Uraniume. Nisam se nikad susretao sa Vandermondovom determinantom, ali jasna mi je taktika. Samo ne znam kako mi uopšte nije palo na pamet da čeprkam po determinanti umjesto da je odmah pretvorim u polinom.

Re: Dokazati identitet sa determinantom - koji je drugi način? 25.09.2006. u 16:47 · pre 245 meseci #6

Sad kad smo progurali Vandermonda

da vidimo i jednu varijantu bez njega:

$\left |\begin{array}{ccc} ax & a^2+x^2 & 1\\ ay & a^2+y^2 & 1\\ az & a^2+z^2 & 1\\ \end{array}\right |=a\left |\begin{array}{ccc} x & a^2+x^2 & 1\\ y & a^2+y^2 & 1\\ z & a^2+z^2 & 1\\ \end{array}\right |=a\left |\begin{array}{ccc} x-z & x^2-z^2 & 0\\ y-z & y^2-z^2 & 0\\ z & a^2+z^2 & 1\\ \end{array}\right |=a(x-z)(y-z)\left |\begin{array}{ccc} 1 & x+z & 0\\ 1 & y+z & 0\\ z & a^2+z^2 & 1\\ \end{array}\right |=a(x-z)(y-z)\left |\begin{array}{cc} 1 & x+z\\ 1 & y+z\\ \end{array}\right |=a(x-z)(y-z)(y-x)=a(x-y)(x-z)(z-y)$

Ovde je prvoj i drugoj vrsti dodavana treća vrsta pomnožena sa $-1$ a posle je urađen razvoj po trećoj koloni.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Dokazati identitet sa determinantom - koji je drugi način? 25.09.2006. u 17:04 · pre 245 meseci #7

Izgleda da si imao dobru učiteljicu. Ja sam malo zakržljao, ne vidjeh matematiku 4 godine, a sad je moram polagati na faxu.

Ali, ja ću se ipak žaliti jer u zadatku nije bilo naglašeno na koji način treba da se dokaže identitet.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme