Definicija realnih brojeva

Ah...pa koliko se sećam ti se nisi prijavio na listu budućih posetilaca...

_{proveri privatne poruke}

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Svejedno, uživaćemo u tvojim časovima.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Galet@world, ovakvim komentarima nema mesta, a posebno ako se ne razumeš mnogo u stvari o kojima želiš da raspravljaš (kao što si sam rekao). Ovakvo ponašanje više neću sankcionisati.

Uzgred, možda bih mogao da ti kažem da je 0° = 0.

Definiciju bijekcije pogledaj bilo u kom udžbeniku koji se time bavi, pa ako ti nešto ne bude jasno onda možeš da pitaš, a ne da tražiš da ti neko priča sve iz početka.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Auh - izgleda da je reč sankcija kontranim (ako se uopšte tako kaže )

Vidim da je moje neodgovorno ponašanje (u poslednjih nekoliko dana) ostavilo traga - uz izvinjenje svima, obećavam da ću to popraviti.

Evo za kaznu (da ne kažem sankciju ):

@galet@world :

Za preslikavanje kažemo da je bijekcija ako:

• svakom elementu skupa pridružuje tačno jedan element skupa
• (injektivnost): različitim elementima skupa pridružuje različite elemente skupa
• (surjektivnost): svaki element skupa je pridružen nekom elementu skupa

_{prvi uslov se uvek podrazumeva kad pričamo o jednoznačnim funkcijama - ali sam ga naveo za svaki slučaj}

Što se tiče zadatka sa dužinama - trik je u centralnoj projekciji:



Vidimo da će za svaku tačku duži postojati tačno jedna tačka duži takva da .
Na osnovu konstrukcije je jasno da će se svaka tačka različita od preslikati u neku tačku različitu od .
S druge strane bilo koja tačka je slika tačno jedne tačke

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Još malo oftopika, kao da ga već nema dovoljno (ma gde su ti moderatori?!).

Imenica sankcija zaista ima dva značenja: kazna i odobrenje, ali to se ne može reći za glagol sankcionisati, koji je vrlo jednoznačan:

Rečnik Matice srpske, peti tom:


Vujaklija:


Eto, ako nekog zanima šta znači sankcionisati, neka slobodno dođe kod nas na forum Matematika.

_{Za radoznale: jesam namerno upotrebio taj glagol očekujući da izazove sličnu reakciju, nešto sam večeras raspoloženiji za raspravu nego inače.}

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

U nekoj od prethodnih poruka galet@world je postavio zanimljivo pitanje: u čemu se razlikuju brojevi 5 i 11?

Ako ove brojeve shvatimo kao prirodne, po (jednoj) definiciji bi bilo:

i pa odmah vidimo da recimo važi ali ne važi npr. pa je .

Ako te iste brojeve shvatimo kao cele, po uobičajenoj definiciji bilo bi:

i pa kako recimo vidimo da je pa opet .

Napomena #1: uređeni par se definiše kao
Napomena #2: relacija je ovde definisana sa

Ako date brojeve shvatimo kao racionalne, po standardnoj definiciji bi bilo:

i pa zbog sledi a otuda i .

Napomena #3: ne treba brkati iste oznake koje se javljaju sa leve i desne strane definicione jednakosti npr. oznaka sa leve strane je racionalan broj koji tek uvodimo a ista ta oznaka na desnoj strani je ceo broj koji je uveden ranije.

Napomena #4: primera radi i analogno za ostale negativne...

Napomena #5: ako uvedemo oznaku relacija je u ovom slučaju definisana sa .

Ako date brojeve shvatimo kao realne dokaz različitosti je još lakši...ostavljam da ovo uradi galet@world

_{sve je moglo mnogo lakše da se dokaže potapanjem odgovarajućih struktura, ali eto...}

Poenta cele ove priče je u tome da ako baratamo sa konstruisanim brojevima - možemo u konačno mnogo koraka proveriti da li su dva data broja jednaka.
_{ovde, istina, ima nekih detalja i ograničenja koja bi valjalo precizirati, ali to tek ako bude zahteva}

Ako radimo sa aksiomatski uvedenom strukturom - pitanje je nemoguće postaviti bez ponavljanja (na neki način) opisanih konstrukcija...

Priznajem da ovim nije sve rečeno i da je karakterizacija npr. prirodnih, bar što se mene tiče, i dalje obavijena velom magle

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Kad smo kod aksiomatike realnih brojeva, ne zaboravimo ni uraniumovu aksiomu singulariteta:

@Farenhajt:

Tu quoque Brute mi fili?!?

Samo da znaš da je to mnogo jaka aksioma - iz nje sledi sve što poželiš!
_{koristiti oprezno}



@galet@world:

Mislim da bi bila šteta da sad odustaneš.
To što eventualno nisi upoznat s nekim mat. teorijama može da ti bude prednost u smislu da možeš, neopterećen tuđim idejama, da misliš o problemu hladne glave i da uočiš nešto što svi mi previđamo.
Neki matematičari se ponekad zanesu misleći da se matematika bavi otkrivanjem istine pa da su samim tim neki teorijski okviri dati jednom za svagda - srećom (po matematiku) to nije tako.

_{Razmisliću malo o ovom novom problemu...}

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Ne treba tolerisati izazove?! Kad god neko postavi zadatak ovde na forumu koji ne znam da rešim na prvi pogled, to smatram izazovom. Treba li onda da brišem takve stvari (verovatno s obrazloženjem: „Ja ne znam to da rešim“)?

Ko zna pre koliko vekova nula je prestala da bude „ništa“ i postala je samo još jedan broj s kojim možeš raditi sve što i s ostalim brojevima.

Vidi, ako ne znaš i želiš da naučiš — to je svakako u redu i vrlo pozitivno; ako znaš i hoćeš drugima da pomogneš — i to je naravno u redu; ali ako nisi stručan u oblasti o kojoj se diskutuje (kao što sam kažeš) onda mislim da bi bilo dobro da prihvatiš objašnjenja onih koji su stručniji i više znaju od tebe, a čak i ako se s tim ne slažeš nipošto nemaš pravo da nekoga vređaš, već samo da kulturno izneseš argumente koji brane tvoj stav. Opomenuo sam te, ako prihvatiš opomenu i nastaviš da kulturno diskutuješ sve može biti potpuno zaboravljeno, zlopamtilo nisam.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Mozda malo zadirem u offtopic, ali cisto ne mogu a da se ne umijesam:)..

Jel se jos nekome cini ovakav nacin dokazivanja malo "manjkavim", ili sam to ja previse
paranoican?:)

Npr. pogledajmo zadnju, gore citiranu tvrdnju. Na osnovu cega zakljucujemo da je bilo koja tocka slika tocno jedne tocke ?
Ako je zbog toga sto smo prethodno rekli da se svaka tocka iz preslika u razlicitu tocku iz , kako znamo da su bas sve tocke iz pogodjene ciljajuci zelenom zrakom kroz sve tocke iz ?
No cak i ta pretposljednja tvrdnja, u kojoj se tvrdi obrnuto, djeluje diskutabilno, jer se nekako previse oslanja na "ociglednost", a znamo da u matematici ne bi smjelo biti takvih zakljucaka.
Jer inace meni zadnja tvrdnja izgleda jednaka ovoj: bilo koja tocka slika tocno jedne tocke zato sto eto ja upravo kazem da je to tako :).
Volio bih vidjeti na sto se to tocno pozivamo kad napisemo tvrdnje poput tih?

(Napomena: posto prvi put ulazim u neku diskusiju, da jasno kazem kako mi nije namjera nista spocitati Uraniumu, dapace, volim citati njegove lijepe, leprsave i iscrpne odgovore :), te ovo pisem i pitam iz iskljucivo "matematickih" razloga)

Uglavnom, uvijek su me u slicnim dokazima smetale sintagme: "na osnovu konstrukcije zakljucujemo.." , "ocigledno je da.." i sl. Meni to izgleda nekako manjkavo, jer imam osjecaj da najcesce "zakljucujemo" ono sto nam pase da zakljucimo:).. Hocu reci, kako u tim dokazima nekako nedostaje matematicnosti tipa: na osnovu teorema tog i tog zakljucujemo to i to.

Evo da budem jasniji, galet@world je trazio rjesenje sljedeceg:

Meni se svidja recimo ovakvo dokazivanje:
(vjerojatno postoji i mnogo koncizniji nacin, ali eto ja sam to sklopio nekako ovako: )

Uzmemo li da postoji jednoznacna korespodencija izmedju zatvorenih intervala iz skupa realnih brojeva i duzina na pravcu, problem se moze svesti na dokazivanje da su svaka dva zatvorena intervala ekvipotentna:

Uzmemo proizvoljni interval . Definiramo sa . je bijekcija (lako se pokaze). To znaci da su i ekvipotentni
(dva skupa su ekvipotentna ako postoji bijekcija izmedju njih).

Kako je bio proizvoljan, to je dakle (-1,1) ekvipotentan i s bilo kojim .
Kako je relacija "biti ekvipotentan" relacija ekvivalencije, to zbog njene simetricnosti i tranzitivnosti zakljucujemo da su bilo koja dva intervala medjuosbno ekvipotentni.

Ovo je bio dokaz za otvorene intervale. Za prosirenje na zatvorene, trebamo pokazati da je proizvoljni (a,b) beskonacan skup, pa cemo se pozvati na teorem koji kaze da je
svaki beskonacan skup ekvipotentan uniji tog skupa i nekog konacnog skupa,
a taj konacni dodatak ce biti skup koji se sastoji od rubnih tocaka a i b, pa cemo dakle dobiti da je svaki (a,b) ekvipotentan s [a,b]. I na kraju primjenom simetricnosti i tranzitivnosti ekvipotentnosti, te uz vec dokazano za otvorene intervale, ustvrditi da su bilo koja dva dva zatvorena intervala ekvipotentna:

Pa pokazimo da je (a,b) beskonacan:
Imamo najprije: je beskonacan
(svaki nadskup beskonacnog skupa je beskonacan)
(a beskonacan jer udovoljava definiciji beskonacnosti: skup X je beskonacan ako je ekvipotentan uniji tog skupa i skupa koji sadrzi element koji nije iz X. Npr. imamo da je ekvipotentan skupu jer izmedju njih postoji bijekcija . )

No je ekvipotentan s (-1,1), jer postoji bijekcija izmedju njih: , dakle (-1,1) je takodjer beskonacan, a onda je takav i (a,b) jer smo prije ustvrdili da je ekvipotentan s (-1,1).
Dakle (a,b) je beskonacan.

Napravimo sad uniju . To je unija beskonacnog i konacnog skupa, koja je, prema gore pomenutom teoremu, ekvipotentna skupu (a,b). Dakle [a,b] je ekvipotentan (a,b). Kako to vrijedi za proizvoljne a i b, to, visekratnom primjenom simetricnosti i tranzitivnosti relacije "biti ekvipotentan", slijedi da da su proizvoljna dva zatvorena intervala ekvipotentna.

Eto, ispade malo preopsirno, ali nadam se da je jasno sto sam htio pitati.. (ako nije, pogledajte recenice u prvom dijelu posta na cijim krajevima stoje upitnici :) )

Potpis

while(sleeping) cat_wails(); wake_up(); for(int i=0;i<9;i++) shoot_cat(); rejoice();
goto(bed);

@Mlatko:

Hajde prvo da vidimo šta je to toliko čudno kod one konstrukcije i na šta/koga se ja to pozivam

Vodeći se onom čuvenom (Konfučijevom?) izrekom - "Slika vredi hiljadu reči" - nisam ni napisao neke pretpostavke jer se one "vide" sa slike - ali eto, neko više voli tih hiljadu reči (koje se, istina, zapisuju pomoću nekoliko hiljada manjih slika, ali dobro de... )

Dakle, izabrane su dve proizvoljne nepodudarne duži i i nekim izometrijama su prevedene u duži i respektivno, tako da se prave i seku u nekoj tački takvoj da su (nedegenerisani) trouglovi i iste orijentacije - ovo je uvek moguće izvesti jer duži i možemo birati tako da važi (a da nisu sve tačke kolinearne) a zatim upotrebiti teoremu koja kaže: je paralelogram akko i .

Proizvoljnu tačku prevodimo u tačku tako što pronalazimo tačku preseka prave sa duži . Kako znamo da taj presek uvek postoji i da je jedinstven? Za egzistenciju, dovoljno je da se pozovemo na teoremu koja kaže:

Neka je zadat konveksan ugao . Svaka poluprava koja sadrži teme , nalazi se u unutrašnjosti ugla akko seče otvorenu duž .

Jedinstvenost:
ako bi bilo više od jedne presečne tačke, onda bi imali kolinearnost tačaka što bi protivrečilo njihovom izboru.

Pogledajmo zašto se različite tačke slikaju u različite tačke .
Ako bi se i i slikale u imali bismo da seče u dve različite tačke - a to bi opet dovelo do kolinearnosti svih posmatranih tačaka.

Surjektivnost dokazujemo ponovnim pozivanjem na poslednju navedenu teoremu.

O vrstama dokaza:

Ti sad ne možeš biti zadovoljan ni ovakvim dokazom. Ali šta da uradim? Da krenem da dokazujem i teoreme na koje sam se pozivao, pa zatim i teoreme na koje se budem pozivao u dokazu onih prethodnih i tako sve dok ne stignem do aksioma? I kud onda? Na samom kraju morao bih da priznam nešto što sam mogao da priznam i na početku - nemoguće je sve dokazati - moramo se osloniti na intuiciju i prihvatiti tu i tamo po neku očiglednost.
S druge strane, potpuno ista (geom.) teorija se mogla dobiti i od nekog nestandardnog skupa aksioma. Time bi neki dokazi bili lakši a neki teži. I što bi jedna očiglednost bila bolja od neke druge? Da li polako uviđaš relativnost svih dokaza?

To nažalost nije sve - ključni problem uopšte nije matematičke prirode.
Problem je u svesti i komunikaciji tj. pokušaju prenošenja "sadržaja" svesti drugima.
Evo kakvo je moje iskustvo.
Zamislimo da sam uočio neku pravilnost i posle nekog vremena uspeo da dokažem s tim u vezi neko tvrđenje . Moja svest je time izmenjena i od tog trenutka ja postajem ubeđen da važi . Ali šta je to što me je ubedilo? Da li je to detaljan dokaz koji sam izveo? Nije! Ključan je bio neposredan intuitivan uvid u tu pravilnost - bez toga ne bi bilo ni dokaza. Ta "misaona slika" je zapravo "nevidljivo tkanje" dokaza. Neposredan uvid u nešto, naspram čitanja dokaza je kao razgovor s nekim licem u lice, naspram gledanja nečije crno-bele fotografije.
Ukoliko je dokaz dovoljno složen, čovek koji bi ga čitao a ne bi imao odgovarajuću "sliku" u glavi, ne bi mogao ni da prati dokaz pa ma koliko dokaz bio "usitnjen".
Da pokušam da dam još jednu analogiju: zaustavi me čovek na ulici i pita kako da stigne na neku obližnju lokaciju. Ja mu pokažem rukom gde treba da prođe, on uoči šta mu pokazujem i krene sam. Zamislimo sad da treba da nateram robota (koji nema odgovarajuće senzore) da ode na tu istu lokaciju. Morao bih da odem sam umesto njega, premerim sva potrebna rastojanja, da razmislim o eventualnim preprekama na koje bi mogao da naiđe, smislim odgovarajuću strategiju... i najzad dam mu izuzetno precizne i opširne instrukcije kad šta da uradi. Na kraju, da li bi robot uopšte znao šta je uradio i zašto?

Do sad sam isticao neke razlike,..ali ako pogledamo jedan "elementaran" korak tog velikog dokaza - zapažamo sličnosti sa onim neposrednim uvidima. Pa se ispostavlja da se u suštini nismo oslobodili pozivanja na očiglednost...

Šta sve ovo znači? Da li su nam potrebni formalni dokazi?
Mislim da ipak jesu, ali o tom drugom prilikom - da ne preterujem...

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

@Mlatko:

Zaboravih da pomenem:

mogao si direktno da dokažeš to što si hteo uvodeći f-ju:

definisanu sa

Iz uslova i dobijamo sistem po i pa zatim i rešenja:

i



Pošto je i imamo da je pa je f-ja injektivna.

Surjektivnost sledi iz:

i

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

@galet@world:

Verovatno nisam sve dobro shvatio, ali makar da se "pomerimo s nule"

Neka je univerzum nekih mat. objekata a univerzum nekih njihovih elementarnih i nezavisnih svojstava i neka za svako neprazno postoji objekat u čiji se univerzum svojstava poklapa sa .

_{Neki od pomenutih pojmova se uzimaju kao polazni. U opštem slučaju postoji i opasnost od pojave Raselovog paradoksa - ali za ovu priliku pretpostavićemo da su takve neprijatnosti otklonjene}

Nezavisnost treba shvatiti na sledeći način:
neka je (stroga inkluzija) i neka je , onda postoji objekat u koji ima sva svojstva iz ali nema svojstvo .


E sad, za svaki objekat rećićemo da je nula u odnosu na neko akko objekat nema svojstvo .

_{ovde nisam siguran da li sam dobro interpretirao tvoje viđenje, jer može biti da si ti želeo samo jednu nulu datog tipa - kolekcija ovih "mojih" nula u odnosu na isto svojstvo bi se (uz neke dodatne uslove) mogla smatrati tom jednom nulom}

Na osnovu date definicije, za zadato svojstvo može se desiti da postoji više različitih objekata koji su nula u odnosu na .

Primeri:


a) ali i - ovde je svojstvo: "broj nije deljiv sa 5", pa su dati brojevi ipak jednaki u odnosu na to svojstvo (tj. nemaju ga).



b) Posmatrajmo skupove tačaka u ravni. Možemo da uočimo klasu svih onih čija je mera (tj. površina) jednaka nuli ili ne postoji. U tu klasu spadale bi recimo sve duži, kružne linije, najviše prebrojivi skupovi tačaka itd.

_{Zvanično se pravi razlika između skupova tačaka u ravni koji nemaju površinu (jer odgovarajući limes ne postoji) i skupova mere (površine) nula (gde limes postoji ali je jednak nuli) iako bi se i za ove poslednje moglo reći da nemaju površinu.}

Dakle, one nule pod 1. shvatam kao objekte koji nemaju neko posmatrano svojstvo , ali zato imaju neka druga svojstva.

Apsolutna nula bi trebalo da bude objekat koji nema ni jedno svojstvo, pa se može raspravljati da li takav objekat postoji ili je to samo sintaksna tvorevina.

Ako su i oznake za npr. isti ceo broj, onda skup po svim zvaničnim definicijama postoji (i nije prazan).
Nasuprot tome, umesto da kažemo da nema razlike među skupovima i obično kažemo da je skup prazan (dakle, postoji ali je prazan).
I pored svega, priznajem da me kod intuicija ipak vuče ka

_{postojanje praznog skupa je uvedeno aksiomatski (tj. kao posledica nekih aksioma)}

Dakle, nepostojanje se ponekad može prerušiti u odgovarajuće postojanje

Što se tiče negativne nule, i sabiranja suprotnih nula - tu nisam siguran šta bi valjalo uraditi
Može li neko dodatno pojašnjenje?

Za sad, i pored upornog traganja, nisam uspeo da pronađem primer gde bi se jasno videlo da neka mat. teorija ima "rupu" u smislu da radi sa objektima koji ne postoje...jedina mogućnost koju vidim je da se nekako ospori postojanje praznog skupa...

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

@galet@world:

Mislim da si me razumeo, s tim da se nisam ograničio samo na brojeve.
U stvari, ja sam pokušao nekako da izvučem suštinu onog primera koji si naveo u prilogu prethodne poruke - naravno - ne tvrdim da sam u tome uspeo



Slažem se. Mada, imam utisak da je uvek moguće prevesti tvrdnju u kojoj se javlja pojam nevaženja u ekvivalentnu u kojoj figuriše samo pojam nepostojanja - naravno, pitanje je da li posmatrana teorija dopušta odgovarajuća jezička proširenja. E sad da li ovo poslednje (pod uslovom da je uopšte tačno ) znači da su nepostojanje i nevaženje zapravo dva lica iste stvari? U ovom momentu bih rekao da jesu...



Intuitivno, ti si potpuno u pravu. Međutim, na osnovu zvaničnih definicija, razlika (misli se na op. oduzimanja, a ne na skupovnu razliku) dva ista cela broja je beskonačan skup. Evo primera:

Ceo broj definišemo kao skup uređenih parova
_{u poslednjem zapisu sve oznake za brojeve odnose se na prirodne brojeve}
pa bi razlika bila u stvari skup ur. parova što je upravo skup kojim se definiše ceo broj .

Ali, ako posmatramo skupovnu razliku između (skupa) i (skupa) (dakle, ) - tj. ako se pitamo koje to elemente skup ima a skup nema - vidimo da je odgovor prazan skup tj. takvih elemenata nema.

Naravno, potpuno sam svestan da u praksi smisao (i upotreba) izraza daleko više odgovara smislu (i upotrebi) izraza nego smislu definicije koju sam naveo



Ovde imamo jedan problem, jer koristeći se onom teoremom koja kaže da i duži različitih dužina imaju isti broj tačaka, mogli bismo da tvrdimo (ako želimo) da je suma pet onakvih površina u stvari i 555 puta veća od polazne. Dakle, za ovakva razmatranja mislim da su nam neophodne još neke dodatne definicije... iako se suštinski slažem sa zaključkom koji izvodiš (pogledaj kraj ove poruke). Štaviše, jedan od pokušaja definisanja one negativne nule i sabiranja suprotnih nula me je (ponovo) naveo na zaključak da je apsolutna nula u stvari beskonačna - suprotno polaznoj pretpostavci

Dakle, ima tu nečeg samo još uvek ne vidim pravi "okvir"...

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}