analitcka geometrija

analitcka geometrija 02.08.2006. u 14:09 · pre 246 meseci #1

Lijep pozdrav svima koji koriste ovaj forum, cesto sam ga citao a evo danas sam se i registrovao.
imam jedan problem iz analitike.
Kako naci projekciju prave na ravan. npr. projekciju,(misli se na ortogonalnu) prave x-1/5 =y-2/3 =z+3/-1, (dakle prava je data u parametarskom obliku)
na ravan 4x+2y-2z+3=0.

Re: analitcka geometrija 03.08.2006. u 22:56 · pre 246 meseci #2

$p:\quad\frac{x-1}{5}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+3}{-1}$

$\pi:\quad 4x+2y-2z+3=0$

Za početak, možemo da vidimo da li se prava i ravan seku.

Za svaku tačku $A(x,y,z)\in p$ postoji neko $\theta\in\textbf{R}$ tako da

$\frac{x-1}{5}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+3}{-1}=\theta$ tj.

$x=5\theta +1$
$y=3\theta +2$
$z=-\theta -3$

Ako tačka $A$ ujedno pripada i ravni $\pi$ onda mora da važi i:

$4(5\theta +1)+2(3\theta +2)-2(-\theta -3)+3=0$ tj.

$\theta=-{17\over 28}$

Dakle, prava $p$ i ravan $\pi$ se seku u tački $A(-{57\over 28},{5\over 28},-{67\over 28})$

Označimo sa $\vec{p}(5,3,-1)$ vektor pravca prave $p$ a sa $\vec{v}(4,2,-2)$ vektor normalan na ravan $\pi$ .

Pogledajmo sada da li postoji neka tačka $T\in\pi$ tako da $\vec{p}=\overrightarrow{AT}+\lambda \vec{v}$ za neko $\lambda\in\textbf{R}$

pomnožimo skalarno obe strane jednakosti sa $\vec{v}$ , dobijamo

$\vec{p}\cdot\vec{v}=\lambda |\vec{v}|^2$ tj.

$\lambda=\frac{\vec{p}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|^2}={28\over 24}={7\over 6}$

dakle,

$\overrightarrow{AT}=\vec{p}-{7\over 6}\vec{v}=({1\over 3},{2\over 3},{4\over 3})$

a to je upravo vektor pravca tražene projekcije pa budući da imamo i tačku $A$ dobijamo da je ortogonalna projekcija:

$l:\quad\frac{x+{57\over 28}}{1}=\frac{y-{5\over 28}}{2}=\frac{z+{67\over 28}}{4}$

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

AT.PNG19.67k

Re: analitcka geometrija 04.08.2006. u 08:50 · pre 246 meseci #3

E svaka cast care, hvala.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme