teorema o limesu slozene funkcije

teorema o limesu slozene funkcije 29.07.2006. u 13:02 · pre 246 meseci #1

Zanimao bi me dokaz sledece teoreme koga nema u mojoj knjizi, pa ako je neko voljan neka ispise.

Teorema:

Neka je $f: A\to B$ , $g: B\to \mathbb{R}$ , ( $A,B \subset \mathbb{R}$ ) i neka je $x_0$ tacka nagomilavanja skupa $A$ . Dalje neka je $\lim_{x \to x_0}{f(x)}=y_0$ , $\lim_{y \to y_0}{g(y)}=a$ i neka $y_0 \not \in B$ (dakle, funkcija $g$ nije definasana u tacki $y_0$ ). Tada je $\lim_{x \to x_0}{g(f(x))}=a$ .

Re: teorema o limesu slozene funkcije 29.07.2006. u 16:06 · pre 246 meseci #2

Potrebna nam je i pretpostavka da je $y_0$ tačka nagomilavanja skupa $B$ . Prevedimo date relacije na $\text{"\varepsilon-\delta"}$ jezik:

$\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0\not\in B\Longleftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)\Bigg [0<|x-x_0|<\delta\Longrightarrow 0<|f(x)-y_0|<\varepsilon\Bigg ]$

$\lim_{y\to y_0}g(y)=a\Longleftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall y\in B)\Bigg [ 0<|y-y_0|<\delta\Longrightarrow |g(y)-a|<\varepsilon\Bigg ]$

Želimo da pokažemo da važi:

$\lim_{x\to x_0}g(f(x))=a$ tj. $(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)\Bigg [0<|x-x_0|<\delta\Longrightarrow |g(f(x))-a|<\varepsilon\Bigg ]$

Neka je $\varepsilon>0$ proizvoljno i unapred dato.
Uzmimo za trenutak da je $y:=f(x)$ i na osnovu $\lim_{y\to y_0}g(y)=a$ nađimo neko $\theta>0$ takvo da $(\forall y\in B)\Bigg [ 0<|y-y_0|<\theta\Longrightarrow |g(y)-a|<\varepsilon\Bigg ]$ vratimo sada $f(x)$ umesto $y$ :

$(\forall x\in A)\Bigg [ 0<|f(x)-y_0|<\theta\Longrightarrow |g(f(x))-a|<\varepsilon\Bigg ]$

Iz uslova $\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0\not\in B$ sledi da postoji neko $\delta>0$ tako da $(\forall x\in A)\Bigg [0<|x-x_0|<\delta\Longrightarrow 0<|f(x)-y_0|<\theta\Bigg ]$ .

Time je upravo pokazano da važi $(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)\Bigg [0<|x-x_0|<\delta\Longrightarrow |g(f(x))-a|<\varepsilon\Bigg ]$ .

Mogli smo polazne relacije da prevedemo i na jezik okolina:

Ako je okolina tačke $a$ obeležena sa $U_a$ , onda uzimamo da je $\stackrel{\circ}{U}_a:=U_a\setminus\{a\}$ pa su odgovarajući prevodi:

$\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0\not\in B\Longleftrightarrow (\forall\, V_{y_0})(\exists\, U_{x_0}) \Bigg [f(\stackrel{\circ}{U}_{x_0})\subseteq \stackrel{\circ}{V}_{y_0}\Bigg ]$

$\lim_{y\to y_0}g(y)=a\Longleftrightarrow (\forall\, V_a)(\exists\, U_{y_0}) \Bigg [g(\stackrel{\circ}{U}_{y_0})\subseteq V_a\Bigg ]$

Dokažimo još jednom da je $\lim_{x\to x_0}g(f(x))=a$ .

Neka je data proizvoljna okolina $W_a$ , onda postoji neka okolina $V_{y_0}$ tako da važi $g(\stackrel{\circ}{V}_{y_0})\subseteq W_a$ a za okolinu $V_{y_0}$ možemo pronaći neku okolinu $U_{x_0}$ tako da važi $f(\stackrel{\circ}{U}_{x_0})\subseteq\stackrel{\circ}{V}_{y_0}$ - pa dobijamo da važi $g(f(\stackrel{\circ}{U}_{x_0}))\subseteq g(\stackrel{\circ}{V}_{y_0})\subseteq W_a$ a to je i trebalo dokazati.

_{Ovaj drugi dokaz možeš pronaći npr. u knjizi Matematička analiza 1, D. Adnađević, Z. Kadelburg}

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: teorema o limesu slozene funkcije 29.07.2006. u 16:29 · pre 246 meseci #3

Hvala!!!

Re: teorema o limesu slozene funkcije 29.07.2006. u 21:22 · pre 246 meseci #4

I jos ako moze dokaz sledeceg tvrdjenja(ako je uopste tacno u svakom slucaju), jer vidim da se to samo podrazumeva, a cesto se koristi.

Naime treba da dokazemo da vazi tvrdjenje T(m) za neki realan broj m, iz uslova da tvrdjenje T vazi za neki skup brojeva koji konvergira u m.

Re: teorema o limesu slozene funkcije 29.07.2006. u 21:31 · pre 246 meseci #5

Svakako ne važi u opštem slučaju. Neka tvrđenje glasi da je neki broj racionalan, i uzmi gomilu racionalnih brojeva koja konvergira ka $\sqrt 2$ .

Može li primer?

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: teorema o limesu slozene funkcije 29.07.2006. u 22:03 · pre 246 meseci #6

Mislio sam na ono kad se kaze "predjimo na limes". Na primer kad se dokazuje Jensen konveksnost+neprekidnost=konveksnost, pa se uoci niz $\lambda_n$ koji tezi $\lambda$ itd... Zasto je to korektno?

Re: teorema o limesu slozene funkcije 31.07.2006. u 08:43 · pre 246 meseci #7

Jel' bi mogao neko da odgovori, posto sutra putujem i necu biti u mogucnosti da dodjem na net, a bas me zanima?

Re: teorema o limesu slozene funkcije 31.07.2006. u 15:26 · pre 246 meseci #8

Hajde da vidimo taj tvoj primer:

Ako je $f:[a,b]\to \textbf{R}$ J-konveksna i neprekidna, onda je $f$ i konveksna.

Dokaz.

Budući da je $f$ J-konveksna imamo da za svako $x,y\in [a,b]$ važi $f(\frac{x+y}{2})\le\frac{f(x)+f(y)}{2}$ .

Otuda indukcijom sledi da $(\star)\quad f({1\over 2^n}\sum_{i=1}^{2^n}x_i)\le{1\over 2^n}\sum_{i=1}^{2^n}f(x_i)$ za $a\le x_i\le b\quad i=1,\ldots,2^n$ jer

$\displaystyle{f({1\over 2^n}\sum_{i=1}^{2^n}x_i)=f\Bigg ({1\over 2}\Bigg ({1\over 2^{n-1}}\sum_{i=1}^{2^{n-1}}x_i+{1\over 2^{n-1}}\sum_{i=2^{n-1}+1}^{2^n}x_i\Bigg)\Bigg )\le {1\over 2}\Bigg (f({1\over 2^{n-1}}\sum_{i=1}^{2^{n-1}}x_i)+f({1\over 2^{n-1}}\sum_{i=2^{n-1}+1}^{2^n}x_i)}\Bigg )$

Želimo da pokažemo da za svako $x,y\in [a,b]$ i svako $0<\lambda<1$ važi:

$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$ .

Stavimo zato u nejednakosti $(\star)$ da je $x_i:=x$ za svako $1\le i\le j$ a da je $x_i:=y$ za svako $j<i\le 2^n$ .
Dobijamo:

$f({j\over 2^n}x+(1-{j\over 2^n})y)\le {j\over 2^n}f(x)+(1-{j\over 2^n})f(y)$

Neka je sada $0<\lambda<1$ proizvoljno.
Uvek možemo napraviti niz ${j_k\over 2^{n_k}}$ takav da $\lim_{k\to\infty}{j_k\over 2^{n_k}}=\lambda$ (npr. koristeći binarnu reprezentaciju broja $\lambda$ ).

Zato posmatramo niz nejednakosti:

$f({j_k\over 2^{n_k}}x+(1-{j_k\over 2^{n_k}})y)\le {j_k\over 2^{n_k}}f(x)+(1-{j_k\over 2^{n_k}})f(y)$

za dovoljno veliko $k$ .

Prelaskom na limes i koristeći neprekidnost f-je dobijamo:

$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$ što je i trebalo pokazati.

Ovde su upotrebljena dva stava (koji se lako dokazuju):

1. Ako je $f: A\to\textbf{R}$ neprekidna i ako je $a:\textbf{N}\to A$ i $\lim_{k\to\infty}a_k=\alpha\in A$ , onda je $\lim_{k\to\infty}f(a_k)=f(\lim_{k\to\infty}a_k)=f(\alpha)$ .

2. Neka su $a_k$ i $b_k$ realni nizovi i neka je $\lim_{k\to\infty}a_k=a$ i $\lim_{k\to\infty}b_k=b$ . Ako postoji neko $k_0\in\textbf{N}$ tako da $a_k\le b_k$ za svako $k\ge k_0$ onda je i $a\le b$ .

Naravno, postoji još mnogo (u praksi konačno mnogo

) načina da se iskoristi "prelazak na limes", tako da bi (barem meni) bilo teško staviti ih sve u isti "koš". Ako imaš još koji primer - napiši pa ćemo i njega proanalizirati.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: teorema o limesu slozene funkcije 31.07.2006. u 21:44 · pre 246 meseci #9

Jos jednom hvala!!!

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme