Dokazati nejednakost

Odgovori Nova tema

4 odgovora
3.641 pregleda

Dokazati nejednakost 28.04.2006. u 18:10 · pre 250 meseci #1

1/101+1/102+1/103+...+1/200<3/4

Re: Dokazati nejednakost 28.04.2006. u 18:54 · pre 250 meseci #2

Rijesio sam.

Re: Dokazati nejednakost 29.04.2006. u 05:51 · pre 249 meseci #3

Evo malo opštijeg stava:

Za svako $n\in\textbf{N}$ važi:

${1\over n+1}+{1\over n+2}+\ldots+{1\over 2n}<\ln 2$ .

Dokaz.
Posle logaritmovanja i sređivanja poznate nejednakosti:

$(1+{1\over n})^n<e<(1+{1\over n})^{n+1}$

dobijamo ekvivalentnu nejednakost:

${1\over n+1}<\ln(1+{1\over n})<{1\over n}$

Sada imamo niz nejednakosti:

${1\over n+1}<\ln(1+{1\over n})$
${1\over n+2}<\ln(1+{1\over n+1})$

$\vdots$

${1\over 2n}<\ln(1+{1\over 2n-1})$

Kada ih saberemo, dobijamo:

${1\over n+1}+{1\over n+2}+\ldots+{1\over 2n}<\ln({n+1\over n}\cdot{n+2\over n+1}\cdot\ldots\cdot{2n\over 2n-1})=\ln 2$ .

Lako se može pokazati da je
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg({1\over n+1}+{1\over n+2}+\ldots+{1\over 2n}\bigg)=\ln 2$
pa je data procena ujedno i najbolja moguća.

Jasno je da mora biti $\ln 2<{3\over 4}$ (jer je $2^4<e^3$ ).

@Sasa A:

Koji je bio tvoj pristup rešenju?

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Dokazati nejednakost 29.04.2006. u 10:08 · pre 249 meseci #4

Sabiram prvi i zadnim, drugi i prezadni i tako redom. Svih novih 50 sabiraka imace jednake broioce.
Prvi novi cinilac je 301/20200. On je najveci. Pomnozomo ga sa 50 i dobijemo 301/404.
301/404<303/404 (303/404=3/4).

Re: Dokazati nejednakost 29.04.2006. u 10:25 · pre 249 meseci #5

Neka je $a_n={1\over 100+n}$ , $n=1,2,...,100$ . Onda je ona tvoja suma $S=\sum_{i=1}^{100}{a_i}$ .

Neka je $S_1=\sum_{i=1}^{20}{a_i}$ , $S_2=\sum_{i=21}^{40}{a_i}$ , $S_3=\sum_{i=41}^{60}{a_i}$ , $S_4=\sum_{i=61}^{80}{a_i}$ i $S_5=\sum_{i=81}^{100}{a_i}$ .

Onda je:

$S_1<{20 \over 100}={1 \over 5}$ ,
$S_2<{20 \over 120}={1 \over 6}$ ,
$S_3<{20 \over 140}={1 \over 7}$ ,
$S_4<{20 \over 160}={1 \over 8}$ ,
$S_5<{20 \over 180}={1 \over 9}$

Nije tesko proveriti da je ${1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+{1 \over 9}<{3 \over 4}$ .

Istim rezonovanjem (deljenjem S u vise manjeih suma) mogli smo da dobijemo i tacniju procenu sume S .

Zahvaljujem se uranium-u na uocenoj gresci koja je sada ispravljena.

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme