def. kompleksnog broja

U mnogim knjigama sam nasao da se kompleksni brojevi definisu na sledeci nacin:

Neka je takava broj da je itd...

Zar ne bi pre definisanja novog pojma trebalo dokazati da postoji "nesto" (da ne kazem broj) sa takvim svojstvom?


npr. kod uvodjenja realnih brojeva dokazano je da postoje duzine koje se ne mogu zapisati u obliku ,

Uobičajen postupak je da se definiše struktura na sledeći način:



za svako


_{(ovde ne treba brkati operaciju na levoj i desnoj strani definicione jednakosti - to su dve različite operacije (iako su označene istim simbolom) - na levoj strani je operacija sab. kompl. brojeva a na desnoj je operacija sabiranja realnih brojeva)}

za svako
_{(i ovde važi analogna primedba)}

- neutral za sabiranje _{(i ovde važi analogna primedba)}

- neutral za množenje _{(i ovde važi analogna primedba)}

- za ovaj element sledi na osnovu def. množenja da je

Lako se dokaže da je generisana struktura polje.

Dakle, kao što vidimo ne važi (pa samim tim polje nije ni potpolje polja ), ali to važi za izomorfnu sliku polja ...

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

ok, hvala

Nije bas jednostavno odrediti da li "nesto" postoji ili ne. Ovakvu definiciju je dao Hilbert:
Kada nesto postoji?
Kada predpostavimo da postoji i to nas ne dovede do kontradikcije.

Znaci postupak je da pretpostavimo da "nesto" postoji i ako dobijemo kontradikciju znaci da ne postoji. Ako ne dobijemo kontradikciju dobili smo nesto lepo, neku novu teoriju. Tako valjda i nastaju sve konstrukcionisticke teorije.
Odatle je svojevremeno posao i Ojler:
Imamo polje R i jednacinu
Pretpostarvimo da postoji njeno resenje i oznacimo ga sa . Ispostavilo se da nismo dobili kontradikciju, dobili smo novu strukturu - polje kompleksnih brojeva

Zato se meni licno ne svidja ona definicija polja kompleksnih brojeva preko uredjenih parova, jer se ne vidi lepo motivacija za njihovo uvodjenje. Lepse je definisati polje kompleksnih brojeva kao korensko polje polinoma

Ali dobro, to je samo stvar ukusa, i mozda potrebnog predznanja. Verovatno se u srednjim skolama ne moze pricati o korenskim poljima.

A kako znamo da necemo dobiti kontradikciju? Ja mislim da u skupu nad kojim se generise polje ne postoji element takav da je

Ne postoji to je sustina! Zato moramo da prosirimo R. C je nadskup od R, a uveden je bas da bi se mogle resiti ovakve j-ne. Da taj element postoji u R ne bi bilo potrebe za skupom C.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Ne znamo da necemo dobiti kontradikciju. Ali posto nije pronadjena vec nekoliko stotina godina, mozemo da se nadamo da je nema. Bilo je vec dosta price na tu temu, npr. slicno pitanje "kako znamo da bilo koji skup pretpostavki (npr. aksioma) nije kontradiktoran" je razradjeno do najsitnijih crevca (na ovom forumu, a i van njega).