Neresivi integrali

Neresivi integrali 31.03.2006. u 09:45 · pre 250 meseci #1

$\int{{sin{x}\over x}dx}=?$
$\int{e^{x^2}dx}=?$

Zasto ovi integrali nisu resivi?

Re: Neresivi integrali 31.03.2006. u 17:18 · pre 250 meseci #2

Znam da postoji algoritam (1969. ga je objavio Robert Risch) koji za datu elementarnu f-ju pronalazi njenu elementarnu primitivnu f-ju (neodređeni integral) ili dokazuje da primitivna f-ja nije elementarna. Algoritam se oslanja na jedan dubok Liouville-ov rezultat.

U knjizi Algorithms for Computer Algebra, K.O. Geddes,S.R. Czapor, G. Labahn postoji vrlo detaljan opis tog algoritma, sa dovoljnim brojem primera.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Neresivi integrali 02.04.2006. u 17:40 · pre 250 meseci #3

Sta je elementarna f-ja?

Re: Neresivi integrali 02.04.2006. u 17:51 · pre 250 meseci #4

Osnovne elementarne f-je su:
identička, konstantna, eksponencijalna, logaritamska, stepena, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske.

Kada na njih konačno mnogo puta primeniš operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja i kompozicije - dobijaš skup svih tzv. elementarnih f-ja.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Neresivi integrali 02.04.2006. u 18:43 · pre 250 meseci #5

Zaboravih da napomenem (jer sam mislio da to znaš - i izvinjavam se ako zaista znaš) da sve to ne znači da navedeni integrali ne postoje (tj. da navedene podintegralne f-je nemaju primitivnu) nego samo znači to da njihove primitivne f-je nisu elementarne.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Neresivi integrali 02.04.2006. u 19:12 · pre 250 meseci #6

ok, onda koja su resenja onih integrala?

Re: Neresivi integrali 03.04.2006. u 02:10 · pre 250 meseci #7

Izvini što tek sad ogovaram, ali nisam znao da si menjao poruku.

Pretpostavimo da obe podintegralne f-je posmatraš na intervalu $[a,b]$ .
Onda za svako $x\in [a,b]$ važi:

$\int{\frac{\sin x}{x}}dx=\int_a^x{\frac{\sin t}{t}}dt+C$

$\int{e^{x^2}}dx=\int_a^x{e^{t^2}}dt+C$

sve ovo važi zbog neprekidnosti podintegralnih f-ja (u tački $0$ f-ju $\frac{\sin x}{x}$ možemo da dodefinišemo sa $1$ ).

Ovo nije jedini način predstavljanja rešenja, jer date f-je možemo razviti u odgovarajuće redove, a unutar njihovog radijusa konvergencije možemo ih integrisati član po član (a radijus je u ovim slučajevima beskonačan).

$\int{\frac{\sin x}{x}}dx=\int{\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n+1)!}}dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\int{x^{2n}}dx=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}+C}{(2n+1)(2n+1)!}$

i analogno za drugi integral.

Možda će se nekome činiti da ovde imamo problem u tački $0$ , međutim za f-ju

$f(x):=\cases{\frac{\sin x}{x},&$x\neq 0$\cr\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x},& $x=0$}$

se lako dobija da važi

$\displaystyle f^{(n)}(x)=\cases{(\frac{\sin x}{x})^{(n)},&$x\neq 0$\cr\displaystyle\lim_{x\to 0}(\frac{\sin x}{x})^{(n)},& $x=0$}$

pa je f-ja $f(x)$ beskonačno diferencijabilna i u nuli.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Neresivi integrali 09.05.2007. u 23:43 · pre 237 meseci #8

jel postoji metod dokazivanja da neki integral nije resiv (da nema ono analiticko resenje)?

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme