Fubinijeva teorema

Odgovori Nova tema

3 odgovora
5.973 pregleda

Fubinijeva teorema 19.02.2006. u 20:46 · pre 252 meseca #1

Neka je $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ integrabilna na pravougaoniku $I = [a, b] \times [c, d]$

Fubinijeva teorema kaze da je

$\int \int_{I}dxdy = \int_{a}^{b} \Bigg( \int_{c}^{d} f(x, y) dy \Bigg) dx$

Medjutim, iako je f integrabilna na I, integral po [c, d] funkcije f(x, y) za fiksirano x uopste ne mora da postoji.

Jel moze neko da mi kaze zasto, ili jos bolje, primer kad ne postoji

Hvala

Re: Fubinijeva teorema 19.02.2006. u 22:17 · pre 252 meseca #2

Možda je ovo i više nego što nam treba:

$f(x,y)=\cases{0,&$x\in [a,b]\setminus\mathbb{Q}$\cr \chi_\mathbb{Q}(y),&$ x\in [a,b]\cap\mathbb{Q}$}$

prostija varijanta bi bila:

$f(x,y)=\cases{0,&$ x\neq x_0$\cr \chi_\mathbb{Q}(y),&$ x=x_0$}$

gde je $x_0\in [a,b]$ unapred dato.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Fubinijeva teorema 07.03.2006. u 19:32 · pre 251 mesec #3

Uranium,
ovo $\chi_\mathbb{Q}(y)$ je funkcija koja je 1 u racionalnim tackama a 0 u iracionalnim, jel tako? Mozda cu da odvalim sad, al' onda mi funkcija f ne izgleda integrabilno ?

Re: Fubinijeva teorema 07.03.2006. u 20:00 · pre 251 mesec #4

Da, to je karakteristična f-ja skupa $\textbf{Q}$ .
Obe funkcije su integrabilne (i integrali su jednaki nuli), jer se od funkcije $g(x,y)\equiv 0$ razlikuju samo na skupu mere nula. A namešteno je tako da za fiksirano racionalno $a\le x_0 \le b$ funkcija $f(x_0,y)$ (shvaćena kao f-ja jedne promenljive) ne bude integrabilna (ista priča i za onaj prvi primer). Ako je sumnjivo da li su pomenuti skupovi zaista mere nula - reci pa ću napisati obrazloženje.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme