Najlepši zadaci

To je resenje:) Ukoliko mislis ono sto ja mislim...


Pa valjda imaju


Ne lici,ovo je mnogo bezazlenije i gluplje

:-)))
Stavio si resenje kao na tacni. Cudi me da i dalje ne provaljuju u cemu je fora :-)

Pa dejanove pitalice (Q zadatak) je bio bas na tu foru, kao : covek nesto kupi i shvati da cim je kupio ne moze to da koristi (kupio je skup novcanik :))) )

Nisam siguran, ali mislim da je ovako nesto bili neka Q pitalica :).

Doduse ako nisu jednojacani blizanci ne mogu imati identican genetski materijal (jelte mogu cak biti i razlicitog pola :))) )

Doduse ne znam kolika je raspodela jednojajcanih cetvorki i trojki i ...

---

Ovo je stvarno gadan zadatak.Nema šanse da neko pogodi
koliko ih je bilo , 3, 4, 5, ..
Ja ću probati skromno:trojke?

---

Skromno si i pogodio,mada mogu biti bilo sta(i cetvorke...)

Evo ga resenje zadatka:

Pronaci sve funkcije y = f(x) koje zadovoljavaju f( f(x) ) = -x.

Postoje dva puta: geometrijsko resenje i analiticko resenje.

Za oba resenja je zgodno koristiti modifikovanu formu zadatka:

(1) f^-1(x) = f(-x) <=> f( f(x) ) = -x.

Geometrijsko resenje:
Definisimo pomocnu funkciju
(2) g(x) = f(-x).
Na osnovu (1) vazi ce da je g(x) inverzna funkcija od f(x).
Geometrijski to znaci da je g(x) slika od f(x) u odnosu na osu simetrije y= x.
Opet na osnovu (2) vazi da je g(x) slika od f(x) u odnosu na osu simterije
x = 0 (apscisu).
Zakljucak: f(x) mora posedovati osobinu jedne slozene simetrije koja se
definise na sledeci nacin
Slika f(x) u odnosu na osu simterije y = x preslikana jos jednom u odnosu
na osu simetrije x = 0 mora biti jednaka samoj funkcija f(x).
Primer: Jednacina kruga x² + y² = r² ispunjava taj uslov.

Na osnovu geometrijskog resenja se dolazi i do jedne teoreme znacajne za
analiticko resenje:
Teorema: Ako tacka (d,c) pripada trazenoj fukciji:
(3) c = f(d)
onda i tacka (-c,d) mora pripadati toj funkciji:
(4) d = f(-c).
Dokaz: Iz (3) sledi:
d = f^-1(c)
a to kombinovano sa (1) daje direktno (4).

Analiticko resenje:

Primer sa krugom, jednom funkcijom u implicitnoj formi, pokazuje jedan put
moguce generalizacije
koristeci opstu implicitnu formu jedne realne funkcije y = f(x),
definisane
na ideji Taylorovog polinomialnog razvoja:
(5) a(0,0) + a(0,1)*y + a(1,0)*x + a(1,1)*x*y + a(1,2)*x*(y²) +
a(2,1)*(x²)*y + a(2,2)*(x²)*(y²) + .... = 0
Pri cemu su sve moguce funkcije definisane kroz razlicite setove
koeficijenata a(n,k) / {n,k} = 0,1,2,....

Ako se u pomoc prizove i malo matricnog racuna, jednacine se daju
elegantnije procesirati. Za to je dovoljno definisati
vektor:
(6) T{V[x]} = [1, x, x², ...]
gde T{*} oznacava "transponovani" vektor ili matricu,
i matricu koeficijenata:
(7) A=

|a(0,0) a(0,1) .|
|a(1,0) a(1,1) .|
|. . . |
Od pomoci ce biti i jednostavna relacija:
(8) V[-x] = J x V[x],
gde je J dijagonalna matrica (svi elementi sem na glavnoj dijagonali su
nule) pri cemu se na glavnoj dijagonali
naizmenicno smenjuju: +1, -1, +1, ....

Matricno napisana opsta implicitna forma (5) glasi:
(9) T{V[x]} x A x V[y] = 0.
Na osnovu Teoreme ona mora istovremeno vaziti za tacku (d,c):
(10) T{V[d]} x A x V[c] = 0
i za tacku (-c,d):
(11) T{V[-c]} x A x V[d] = 0,
za proizvoljne realne brojeve "d" i "c". Uz pomoc osnovnog matricnog
racuna
i relacije (8) poslednja
jednacina se da modifikovati u jednu formu pogodnu za poredjenje sa (10):
(12) T{V[d]} x T{A} x J x V[c] = 0.
Posto (10) i (12) treba da vaze za bilo koju tacku (d,c), sledi uslov za
matricu koeficijenata:
(13) A = T{A} x J

Iz matricnog racuna ostaje da se dokazu sledeca pravila za
konstrukciju, na osnovu (13),
matrice koeficijenata opste implicitne forme funkcije (1):
- na svim pomocnim neparnim dijagonalama su svi koeficijenti nula;
- na glavnoj dijagonali su svi koeficijenti na neparnim pozicijama nula;
- na svim pomocnim parnim dijagonalama iznad glavne koeficijenti su
zavisni od koeficijenata na parnim dijagonalama ispod glavne na
simetricnim pozicijama:
. koeficijenti u parnim kolonoma iznad glavne dijagonale su jednaki
simetricnim koeficijentima ispod glavne dijagonale;
. koeficijenti u neparnim kolonoma iznad glavne dijagonale su jednaki
sa negativnim simetricnim koeficijentima ispod glavne dijagonale; i
. koeficijenti na parnim pomocnim dijagonalama ispod glavne kao i na
parnim pozicijama na glavnoj dijagonali su proizvoljni realni brojevi.

Primer: Za (n,k) = 0,1,2,3
A=
|a(0,0) 0 a(2,0) 0 |
|0 0 0 -a(3,1) |
|a(2,0) 0 a(2,2) 0 |
|0 a(3,1) 0 0 |

pri cemu su a(0,0), a(2,0), a(3,1) i a(2,2) proizvoljni realni brojevi.
Naprimer za: a(0,0) = -1 i a(2,0) = a(3,1) = a(2,2) = 1 dobija se funkcija
u
implicitnoj formi (5):
-1 + x² + y² + (x²)*(y²) + (x³)*y - x*(y³) = 0
koja zadovoljava uslov (1).

Dobijeno resenje se moze lako prosiriti i na kompleksne funkcije koristeci
Laurent-ov polinomijalni razvoj kompleksne funkcije
umesto Taylor-ovog razvoja realnih funkcija. Sa time se matrica A
produzuje
i na stranu negativnih indeksa (n,k) = ..., -1, 0, +1, ...
Tada su naravno i koeficijenti u matrici A kompleksni brojevi. Medjutim
pravila konstrukcije matrice A ostaju vrlo slicna.

[Ovu poruku je menjao roentgen dana 21.11.2003. u 02:29 GMT]

Samo ću malo da te dopunim:

Nije li jednostavnije da kažeš rotacijom oko koordinatnog početka za ugao f se preslikava u samu sebe (pošto je kompozicija osnosimetričnog preslikavanja u odnosu na dve prave koje se seku pod uglom rotacija oko tačke preseka za ugao od . U svakom slučaju, rešenje je korektno.

Evo još jednog zadatka od mene:

---

Jovan je stariji.(Petar je bio apostol a Jovan je krstio isusa pa na osnovu te logike
tako ispade).Ako nisam u pravu ajde dokaži .

---

Vrlo jednostavan dokaz: Jovan i Petar o kojima ja pričam su rođeni 1932 i 1933. godine, a oni o kojima ti pričaš mnoooogo ranije.

---

Pretpostaviću da se radi o satovima sa kazaljkama, a ne digitalcima koji idu od 00:00 do 23:59. Dakle, Petrov iskaz "ovi satovi će prvi put počevši od sada pokazati isto vreme" ću tumačiti da će nakon 12 sati razlike između vremena tih satova, oni pokazivati isto vreme.

Nakon jednog sata od trenutka nameštanja satova tog januarskog podneva, oni će se razlikovati za 10+10=20 sekundi, a tražena razlika od 12 sati biće nakon 12*60*60/20=2160 sati, odnosno 90 dana. Dakle, za 90 dana nakon "jednog januarskog popodneva" biće rođendan Jovanu, tj. biće "jedan dan u maju".

Očigledno je između jednog januarskog i jednog majskog dana mora proteći ceo februar, mart i april, tj. minimum punih 28+31+30=89 dana. Preostali 1 dan mora otići na jedan deo poslednjeg dana januara i jedan deo prvog dana maja. Dakle, nameštanje satova se odvija u podne 31. januara, a tačno 90 dana protiče 1. maja u 12 sati (tog dana je rođendan Jovanu).

Pošto se radi o 47-om rođendanu, kandidati za godinu kada su namestili satove su 1932+47=1979. godina i 1933+47=1980. godina. Sada dolazi ključna tačka: pažljivom čitaocu nije promaklo moje potajno podrazumevanje da februar ima 28 dana (kada sam sabirao minimum punih proteklih dana između "jednog januarskog dana" i "jednog majskog dana"). Znamo da februar može imati i 29 dana ako je u pitanju prestupna godina. Međutim, ukoliko bi se nameštanje satova odigralo prestupne godine, između "jednog januarskog dana" i 1. maja u ponoć bi proteklo minimum 90 dana i 12 sati, što je više od već izračunatih 90 dana. Dakle, razgovor se vodio proste, a ne prestupne godine.

Gle čuda, upravo jedan kandidat (1980. godina) za godinu nameštanja satova je prestupan (80 mod 4 = 0). Zato on otpada, i ostaje 1979 godina, kada je bio 47-rođendan Jovanu, koji se dakle rodio 1. maja 1932. godine, te je on stariji od Petra koji se rodio maja 1933 godine.

Dakle, Jovan je stariji i zzzz je bio u pravu :))

Dobro si pretpostavio vrstu satova (pa nisu valda tih godina postojali digitalci)? Hteo sam da ti se krvi napijem što ne znaš da sabiraš, ali na vreme si ispravio grešku.

U svakom slučaju, čestitam na korektnom rešenju (iako si imao dve grube omaške, od kojih si jednu ispravio, a drugu očekujem da ispraviš što pre).

---

Itekako jesu. Nameštanje satova se obavlja 1979-e godine, zar ne?



Nije mi jasno kako si bio tako brz pa si uspeo da pročitaš prvu verziju posta (Verovatno vi moderatori imate pristup svih verzijama postova...). Inače, ne znam ni otkud ti ovlašćenje da citiraš nešto što ne postoji, ili je postojalo jedno 25 sekundi za obične smrtnike! U svakom slucaju, da si uvek tako brz, mogao bi da vidiš da skoro svaki moj post naknadno ispravljam zbog neke računske greške (onaj Zvonar i one silne trojke sto sam naveo: pola je bilo pogresno sabrano u početku :).



Treba izbaciti "je" iz rečenice: "Očigledno je između jednog januarskog i jednog majskog dana mora proteći ceo februar, mart i april" :)

Da, ali satovi datiraju još od njihovog rođenja.

Ne, nisam na to mislio (ne bavim se jurenjem gramatičkih grešaka po forumu). Greška na koju sam mislio nema presudan uticaj na rešenje zadatka, ali ipak bi bilo lepo da je sve korektno. Mala pomoć: nalazi se u ovoj rečenici:


Zašto si tako strog prema sebi, pa samo 2 komada je bilo pogrešno?

Nemoj se ljutiti zbog ovog, malo se šalimo Inače, nisam verovao da će neko tako brzo rešiti zadatak.

---

Dakle, sad je sve jasno: sve bivše verzije poruka se čuvaju...

Možda ovako:





E, to što si citirao ti je samo jedna od poslednjih verzija trojki :))) Izgleda da prethodne nisam ni postovao, već sam radio "Pogledaj kako poruka izgleda". To (nadam) se ne možeš da otkriješ...

Neće biti ni tako... Možda sam pogrešno protumačio rečenicu, ali ako dobro shvatam, ti tvrdiš da će se satovi poklopiti u ponoć... Razmisli malo.

---

Dobro, možda je sada red i na mene. Evo jedan od mojih omiljenih, istina lakih:



Evo i mini-zbirka dosadašnjih "rešenja" i komentara:

1. Ajde, molim te, gde si ti video livadu u obliku kruga?
2. Neka prokopa rov kojim će podeliti livadu na dva jednaka dela i pustiti kozu
3. Neka počupa travu sa pola livade
4. Neka kupi još jednu sličnu kozu koja će da jede istom brzinom kao prva
5. Neka ubije kozu
6. Zašto kolac mora biti baš na ivici livade, a ne u centru?
7. A koji k**** je kupovao livadu o obliku kruga?
8. Neka proda livadu i kupi drugu

Samo je poslednje zaslužilo komentar: time što će kupiti na primer livadu u obliku kvadrata, ne pojednostavljuje mnogo problem... Šta više, to je novi zadatak, koji može da ispadne mnoooogo teži ako se uopšti:

Jesi, pogrešno si je protumačio, iako mislim da sam je dobro sastavio. Rečenica ustvari kaže: ako bi bila u pitanju prestupna godina, čak i da su namestili satove poslednjeg dana januara u podne, do maja meseca treba nam više od 90 punih dana, tj. treba nam minimum 90 dana i 12 sati do trenutka koji predstavlja prelaz 30.april-1.maj. Naravno, izračunali smo da je potrebno tačno 90 dana za poklapanje, te bi se satovi poklopili već 30. aprila u podne. Već prvog maja u ponoć satovi bi prešišali poklapanje i opet bi različito pokazivali.

Zanimljivi zadaci, pozabaviću se njima. Inače, pokušavao sam da ti kažem da satovi u trenutku poklapanja neće pokazivati 12 sati, nego 6 sati popodne (što naravno nije tačno vreme, ali nigde u zadatku ne piše da treba da bude). Verovatno si to zapazio tokom rešavanja, samo neka stoji zapisano.

---

Ne znam da li je trebalo matematicki (verovatno nije,cim kazes da je kvadrat mnogo tezi),i izvinjavam se zbog ovakvog nacina,ali ja sam uz malo integraljenja i nekim,samo meni znanim,numerickim metodama dosao do rezultata 11.59m,tacnije 11.58728473m.Resenje me mrzi da pisem,ali ako treba...

Da, to je približna vrednost konačnog rešenja za zadatak sa krugom. Nemoj da te mrzi da pišeš rešenje :), ne bi trebalo da bude dugo, ja imam jedno koje staje u svega četiri reda u Mathematici + (opciono) jedna lepa slika svega da se vidi šta je gde.

Što se tiče numeričkih metoda, da, one se izgleda moraju koristiti, jer se po mom rešenju dobija jednačina nerešiva nekom "analitičkom" metodom.