Ikosaedar i gustina

Ikosaedar i gustina 05.03.2025. u 09:37 · pre 20 meseci #1

Dat je pravilan ikosaedar sa centrom $O$ i temenima $V_1,\dots,V_{12}$ . Dokazati da za svaku tačku $P$ i svako $\varepsilon>0$ postoje celi brojevi $z_1,\dots,z_{12}$ takvi da važi

$|z_1\overrightarrow{OV_1}+\cdots+z_{12}\overrightarrow{OV_{12}}-\overrightarrow{OP}|<\varepsilon$ .

Hint: Analitička konstrukcija pravilnog ikosaedra: Temena mogu biti $(\pm 1,\pm\varphi,0),\,(0,\pm 1,\pm\varphi),\,(\pm\varphi,0,\pm 1)$ , gde je $\varphi=\frac{1+\sqrt 5}2$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ikosaedar i gustina 05.03.2025. u 11:01 · pre 20 meseci #2

Interesantno, ali nemam ni pribliznu ideju kako da se dokaze.
Ako shvatam postavku, tvrdi se da SVAKA tacka u prostoru moze da se predstavi preko 12 "jedinicnih" vektora sa celobrojnim koeficijentima?
To, naravno, nije moguce sa "klasicnim" celobrojnim koeficijentima sa i,j,k jedinicnim vektorima.

Re: Ikosaedar i gustina 05.03.2025. u 13:42 · pre 20 meseci #3

Da, ali se traži da se dokaže da se svaka taćka može tako predstaviti približno sa proizvoljnom tačnošću.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ikosaedar i gustina 05.03.2025. u 17:31 · pre 20 meseci #4

Takođe nemam nikakvu ideju kako se to dokazuje, ali me zanima nešto drugo .. :)
Ako bih odabrao tačku u centru ikosaedra, podjednako udaljenu od centara svih stranica, i podjednako za neki drugi iznos udaljenu od temena ikosaedra .. pa spojio temena sa tom centralnom tačkom, da li bi ikosaedar bio sastaljen od pravilnih tetraedara ili od nekih drugih trostranih piramida, te da li bi te druge trostrane bile sve iste?

edit: sorry, sve prilike da nije moguće ni naći tačku takvu da je podjednako udaljena itd a kamoli da su tetraedri ..

Re: Ikosaedar i gustina 05.03.2025. u 17:39 · pre 20 meseci #5

Da li navedeno tvrđenj važi za tetraedar?
Kocku?
Oktaedar?

Re: Ikosaedar i gustina 05.03.2025. u 18:15 · pre 20 meseci #6

Ako sam dobro razumeo zadatak
OV = Sqrt(1+((1+Sqrt(5))/2)^2) = OVi, za sve i=1, 2, ..., 12
OP = Sqrt(a^2+b^2+c^2)
Potrebno je pokazati da za sve P(a,b,c) i neko k zavisno od (a,b,c) važi
|k*OV - OP| < epsilon > 0
Odavde je k = Int(OP/OV) ili je k = 1+Int(OP/OV), (koje apsolutnu razliku daje manje od epsilon).
Ali nije proizvoljno blizu.

Re: Ikosaedar i gustina 05.03.2025. u 18:30 · pre 20 meseci #7

Nisu svi OVi isti.
Nekada je OVi = Sqrt(1+((1+Sqrt(5))/2)^2),

a nekada je OVi = Sqrt(1+((1-Sqrt(5))/2)^2).

Brojevi z1, z2, z3...z12 nisu svi isti i nisu svi prirodni brojevi.
Tako da ne možeš da uvedeš k kao zamenu za njih 12.
Zbog različitih OVi.

Re: Ikosaedar i gustina 05.03.2025. u 18:42 · pre 20 meseci #8

Citat:

miki069:
Da li navedeno tvrđenj važi za tetraedar?
Kocku?
Oktaedar?

Ne.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ikosaedar i gustina 06.03.2025. u 10:11 · pre 20 meseci #9

Ideja koju je izneo elktromonter je dobra.

Da ne bi tražili 12 celih brojeva, ako je

OVi = Sqrt(1+((1+Sqrt(5))/2)^2) zastupljen 6 puta i
OVi = Sqrt(1+((1-Sqrt(5))/2)^2) zastupjen 6 puta,

zadatak se svodi na traženje 2 cela broja.

Re: Ikosaedar i gustina 06.03.2025. u 10:16 · pre 20 meseci #10

Trebaće 6 celih brojeva da se nađe. Sa 2 ne može ni kada su realni jer se time razapinje dvodimenzioni potprostor, a nama treba gustina u trodimenzionom.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ikosaedar i gustina 06.03.2025. u 10:26 · pre 20 meseci #11

Da, jasno je da po svakoj koordinati x, y, z učestvuje samo 6 celobrojnih koeficijenata od kojih samo 2 množe fi.
Ali, svejedno, ne mogu da provalim kako da se približim epsilonu...

Re: Ikosaedar i gustina 06.03.2025. u 11:00 · pre 20 meseci #12

Hint 2:

$a_1(1,\varphi,0)+b_1(1,-\varphi,0)+a_2(0,1,\varphi)+b_2(0,1,-\varphi)+a_3(\varphi,0,1)+b_3(-\varphi,0,1)$ .

Hint 3:

Za ma koji iracionalan broj $\alpha$ važi da je $\{m+n\alpha\,:\,m,n\in\mathbb Z\}$ gust.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ikosaedar i gustina 06.03.2025. u 16:36 · pre 20 meseci #13

Zbir je

(*) $((a_1+b_1)+(a_3-b_3)\varphi, (a_2+b_2)+(a_1-b_1)\varphi, (a_3+b_3)+(a_2-b_2)\varphi)$ .

Neka su $p_1,q_1,p_2,q_2,p_3,q_3$ ma koji parni celi brojevi.

Tada vektor

(**) $(p_1+q_1\varphi,p_2+q_2\varphi,p_3+q_3\varphi)$ ima oblik prethodnog zbira za

$a_1+b_1=p_1$ , $a_1-b_1=q_2$ ,
$a_2+b_2=p_2$ , $a_2-b_2=q_3$ ,
$a_3+b_3=p_3$ , $a_3-b_3=q_1$ ,

odnosno

$a_1=\frac{p_1+q_2}2$ , $b_1=\frac{p_1-q_2}2$ ,
$a_2=\frac{p_2+q_3}2$ , $b_2=\frac{p_2-q_3}2$ ,
$a_3=\frac{p_3+q_1}2$ , $b_3=\frac{p_3-q_1}2$ .

Brojevi $a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3$ su celi kao polovine parnih brojeva. Dakle, na opisani način se može dobiti bilo koji vektor oblika (**), gde su $p_1,q_1,p_2,q_2,p_3,q_3$ parni celi brojevi, odnosno dvostruka vrednost bilo kog vektora oblika (**), gde su $p_1,q_1,p_2,q_2,p_3,q_3$ celi brojevi.

Izaberimo koordinatni sistem sa centrom u centru datog ikosaedra, takav da za neku pozitivnu konstantu $C$ temena imaju koordinate

$C(\pm 1,\pm\varphi,0)$ , $C(0,\pm 1,\pm\varphi)$ , $C(\pm\varphi,0,\pm 1)$ i neka je $(x_1,x_2,x_3)$ ma koji vektor.

Izaberimo cele brojeve $p_1,q_1,p_2,q_2,p_3,q_3$ takve da važi $|p_i+q_i\varphi-\frac{x_i}{2C}|<\frac{\varepsilon}{4(1+C)}$ . Tada dvostruka vrednost vektora (**) odstupa od vektora $\frac 1C(x_1,x_2,x_3)$ manje od $\varepsilon/C$ , dok odgovarajuća celobrojna linearna kombinacija vektora koji spajaju centar datog ikosaedra sa njegovim temenima odstupa od $(x_1,x_2,x_3)$ za manje od $\varepsilon$ .

Dokažimo da za ma koji iracionalan broj $\alpha$ važi da je skup $S=\{m+\varphi n\,:\,m,n\in Z\}$ .

Ako sa $[x]$ označimo najveći ceo broj koji nije veći od $x$ , onda za niz $a_n=n\alpha-[n\alpha]$ važi da je ograničen između 0 i 1 i da je $a_m\neq a_n$ za $m\neq n$ .

U suprotnom bi iz $m\alpha-[m\alpha]=n\alpha-[n\alpha]$ sledilo $\alpha=\frac{[m\alpha]-[n\alpha]}{m-n}$ , što je u suprotnosti sa iracionalnošću broja $\alpha$ .

Svaki ograničen niz ima konvergentan podniz, pa se oduzimanjem bliskih različitih elemenata datog niza dobija da skupu $S$ pripadaju proizvoljno mali pozitivni brojevi.

Neka je $x$ ma koji realan broj i neka je $k$ proizvoljno veliki prirodan broj. Neka su $m,n$ celi brojevi takvi da je $0<m+n\alpha<\frac 1k$ i neka je $s$ najveći ceo broj takav da je $s(m+n\alpha)<x$ . Tada je $|(sm+sn\alpha)-x|<\frac 1k$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme