Osmougao, dvanaestougao, šestougao ...

U 3D prostoru, u jednoj ravni, konstruisan je pravilan osmougao. Obeležene su dve tačke krajnje levo i desno A i B.



Zatim je taj osmougao zarotiran u prostoru, kao oko pravca koji određuju tačke A i B pod tačno 45 stepeni, normalna projekcija tako zarotiranog osmougla na početnu ravan je isto osmougao, samo koji deluje malo spljošteno po vertikali ..



Onda su takvom osmouglu dodata još dva identična njemu, crveni i zeleni na ilustraciji, tako da je svaki sledeći zarotiran pod 60 stepeni oko z ose u prostoru, tj. one koja se pruža u pravcu posmatrača.



1.) Normalna projekcija unutrašnjih linija ovakve konstrukcije na početnu ravan je pravilan dvanaestougao, potrebno je dokazati.

2.) Normalna projekcija spoljašnjih linija ove konstrukcije na početnu ravan je pravilan šestougao, potrebno je dokazati.

Označi sve tačke.
Napravi transformacije koordinata za svaku od tačaka.
Izračunaj presečne tačke, uglove i dužine svih stranica.
Proveri da li su uglovi i dužine odgovarajući za pravilan šestougaonik i pravilan dvanaestougaonik.

Recimo, uopšte nisam siguran da si dobio ugao od 120 stepeni kada si "spljoštio" osmougao. Izračunaj ugao na temenu A...

Eh pa sad izračunaj, da sam znao već bih uradio, evo kao nešto sam proveravao ispadne mi sinus ugla alfa 0,862, a od ugla 60 stepeni je 0,866 ... tako da kod A verovatno jeste 120 stepeni, ali ne verujem da se za ovakve zadatke uvažava ovakva računica na tri decimale ..



Zaboravio sam da naglasim u zadatku da je bitno da je osmougaonik orijentisan ćoškovima, uglovima (corner aligned), jer ako je stranama paralelan sa koordinatnim osama onda se ne dobija ovo što sam crtao ...

Nemoj da računaš sa float brojevima.
Evo ti link na matrice rotacije: https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

Na slici si obeležio samo 2 tačke, a imaš na prvoj slici OSAM tačaka i centar kružnice.
Zaboga OZNAČI SVE TAČKE. Nađi koordinate. Izračunaj transformacije, i uglove. Nemoj da računaš sisnuse i kosinuse na 3 decimale, nego ti treba TAČNA pozicija tačke, recimo da j X koordinata 1*sin(pi/4). Onda nećeš da dobijaš greške zaokruživanja.
Ako više voliš, možeš da predstavih lik u kompleksnoj ravni, da se ne bi mnogo mučio sa trigonometrijom.

Kako a' može da bude 1.707 ako uzmeš da je prečnik opisane kružnice 1. Može da bude samo manje.

Recimo, tačka O je (0, 0), A je (-1, 0), B je (1, 0)

Pa dobro si uocio. U prvobitnom osmouglu vazi:



Kada se osmougao rotira za 45 stepeni, tada se a skracuje tacno sqrt(2) puta, pa je:



Koliki je ugao kome je tg(x) = 1 + 1/sqrt(2)?



Tako da je @djoka_l bio u pravu - to nije ugao od 60 stepeni, samim tim tvoja teorema pada u vodu. E sad, zadatak mozes da postavis i tako sto ces se pitati koliki je ugao rotacije osmougaonika da bi ugao alfa bio tacno 60 stepeni. TU kreces od nazad - da bi ugao bio 60 stepeni, a' mora da bude c*sqrt(3) ... dalje ti ostavljam da se sam pomucis, nije tesko. :-)

To je, otprilike JEDINI način da se u ovom slučaju nešto izračuna (ali ne na tri decimale, nego onako kako je Beri uradio). Ovde ne možeš da upotrebiš dokazne postupke iz Euklidske geometrije, nego moraš da računaš, tj. da koristiš analitičku geometriju.
Spolješteni osmougaonik nije dobijen izometrijskom transformacijom.
U stvari, ti si prvo uradio izometrijsku transformaciju (rotaciju u 3D), ali si onda uradio PROJEKCIJU, a to više nije izometrijska transformacija, pa možeš da zaboraviš Euklida.

Inace, dokaz da ugao DAC nije 60 stepeni moze da se uradi i bez kalkulatora i decimala! Svako djace koje je u toku s matematikom zna napamet da je:



Stariji to zaborave cim zavrse skolu, ali svi obicno pamte Pitagoru, pa lako dodju do tog rezultata pesice. A u intervalu (0, 90) stepeni tangens je rastuca funkcija. I to znaju djaci. Tako da ova jednacina gore moze da se napise i u formi:



odnosno:



Kvadriranjem leve i desne strane i primenom formule za kvadrat zbira (koje opet svako dete zna napamet) dobijes:



sto kada se pretumbaju cifre s leve i desne strane dobijes:



Djaci obicno znaju da je sqrt(2) ~= 1.41421 (naucis napamet nakon 50+ zadataka koje uradis) ... a koren dvojke (1.414) je svakako manji od 1.5.

Pa naravno, tvoj račun je tačan. Ja se nisam ni potrudio da bio šta bacima na papir jer sam procenio da dobijem nešto u čemu imam koren iz dva, a da mi treba koren iz tri i da nema teorije da se "slučajno" dobije ugao od 60 (ili 120) stepeni od ugla od 135 stepeni.
Da je Major krenuo od toga da izvuče linije pod uglom od 60 stepeni gore i dole iz A i B i da je na njih projektovao tačke, mogao je da dobije to što je hteo da dobije...

Eh pa hvala, ne bih uspeo bez Vas, kaže geogebra 44,16 stepeni ...





Matrice rotacije, kompleksna ravan .. to ne umem da primenim, ali hvala u svakom slučaju. a' je 1.107 jer sam za potrebe brze provere, lakšeg računa, usvojio da je c = 1 piše na slikama, i naravno na kraju nisam bio siguran da li su mi 0,04 pojele decimale ili ugao nije 120 :)



Dobro a/c = tangens, ali odakle to da je sve to jednako 1 + koren iz 2 ?



Ja množio sa sinus 45, dobro to je isto (valjda) :)



Ako može objašnjenje, zašto da zaboravim Euklida, valjda i projekcije podležu tim pravilima?

A dvanestougao? Je l isto pod 45 nije, verovatno svaki drugi ugao različit, a po 44,16 jeste, ili kako? :)

Pa sada, ako bih mogao da se setim geometrije iz 3. razreda iz Matematičke gimnazije, pa još to da sabijem u ovaj post, verovatno bih mogao da ti kažem.
Ovako, dva polugodišta smo dokazivali teoreme Euklidske geometrije i radili sa izometrijskim transformacijama, pa valjda ima veze :)
Postoje 3 ili 4 i(zavisi kako brojiš) izometrijske transformacije, translacija, rotacija i simetrija (osna i centralna). Izometrijske transformacije su ona preslikavanja koja "čuvaju" rastojanja između tačaka objekta koji transformišeš.
Projekcija nije izometrijska, jer si promenio uglove, dužine stranica poliedra itd.

Aha jasnije, ali ako transformacije primenjujem samo na tačke, a linije i uglovi prate u principu smeo bih da koristim da kaže čovek da nisam pogrešio, ako prihvatam da se te transformacije dese "po pravilima", znači Euklid samo na tačke, one ne mogu da promene ni ugao ni dužinu, jer ih ni nemaju?

Taj deo sam izostavio. Ja licno sam to proverio na digitronu (mislim tangens od 67.5 stepeni), priznajem ... ali ako cemo "skolski" rezultat moze da se dobije i na osnovu formule za tangens dvostrukog ugla:



Posto je 2*67.5 = 135, a tg(135) = -1, ako tg(67.5) oznacimo sa t tu dobijes kvadratnu jednacinu:



cija su resenja 1 +/- sqrt(2), a posto je tangens za uglove 0 < x < 90 pozitivan, resenje s minusom otpada i to je to. :-)