Diferencijalna jednačina

Pozdrav. Vec sam jednom postavljao ovaj zadatak, ali mi je obrisana tema, jer ga nisam ni počeo. Zadatak nije dolazio zadnje 2-3.god sigurno. A na internetu nisam mogao ništa naći vezano za ovaj tip. U međuvremenu je bio rok sa sličnim zadatkom

Nasao sam formulu (Luivilova mislim) $y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P(x)dx}}{y_{1}^{2}}dx$

$\int P(x)dx=\int \frac{x+2}{x(x+1)}dx=ln(x)+ln(x)-ln(x+1)=ln\left ( \frac{x^{2}}{x+1} \right )$

Pa bi za $y_{1}=x^\alpha$ bilo $Y_{2}=x^{\alpha }\int \frac{-\frac{x^{2}}{x+1}}{x^{2\alpha }}dx=-x^{\alpha }\int \frac{1}{x^{2\alpha -2}(x+1)}dx$

E sad bi trebalo valjda da odredim $\alpha$

$y=x^{\alpha }\\y'=\alpha x^{\alpha -1}\\y''=\alpha (\alpha -1)x^{\alpha -2}\\$

$(x^{2}+x)(\alpha ^{2}-\alpha )+\alpha (x+2)x^{\alpha -1}-x^{\alpha }=0$

$x^{\alpha }(\alpha ^{2}-1)+x^{\alpha -1}(\alpha ^{2}-\alpha )=0$

Odavde je $\alpha=-1$

Pa je $Y_{2}=-\frac{1}{x}\int \frac{x^{4}}{x+1}=-\frac{1}{x}[-\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x-ln(x+1)]$

I odavde mi nastaje problem. Kada to uvrstim u $C_{1}^{'}Y_{1}+C_{2}^{'}Y_{2}=0$ i $C_{1}^{'}Y_{1}^{'}+C_{2}^{'}Y_{2}^{'}=2(x+1)$ , ne mogu da riješim i da dobijem neke "normalne" oblike za $C_{1}^{'}$ i $C_{2}^{'}$ . Fora je u tome da ja uopšte ne znam da li sam dobro radio, jer nisam imao ni jedan urađen primjer, samo ovu početnu formulu. Za $\alpha$ bi mi bolje bilo da sam dobio 1, ali provjerio sam dva puta.

Za $C_{2}^{'}$ sam dobio $C_{2}^{'}=\frac{2(x+1)}{-x^{2}+x-1-\frac{x+2}{x(x+1)}}$ , što je donekle OK; ali kad to vratim u $C_{1}^{'}$ nastane haos, a nema mi smisla da je tako komplikovano, jer su zadaci obicno osmišljeni tako da se lako riješavaju ako se zna postupak. Obično se sve fino skrati i nema muke.

Najviše me zanima jesam li dobro radio. Rok mi je za vikend, pa je svaka pomoć dobro došla.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme