Kretanje tijela promjenjive mase

Kretanje tijela promjenjive mase 14.07.2012. u 19:53 · pre 174 meseca #1

Na forumu Matematika postavljen je ovakav zadatak:
donatela:
U pitnju je kretanje lanca vertikalno u vis pod djelovanjem konstantne sile.Vrh lanca je krenuo sa horizontalne podloge i masa mu je po jedinici dužine 1kg.Treba naći zavisnost visine od vremena,maksimalnu visinu koju dostigne vrh i grafički zavisnost visine od vremena.

Dakle konstantnoj sili F se protivi težina i inercijalna sila:

$F=G+\frac{d}{dt}(mv)$

Odavde se odmah skočilo na $F=gz+(\dot{z})^2+z\ddot{z}$

Ne valja ovako raditi,a evo zašto:

1)umjesto G=gz treba ići G=qgz,gdje q masa lanca po jedinici dužine[kg/m].To je zbog dimenzionalne provjere.

2) $\frac{d}{dt}(mv)=m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt}$ Ovaj izraz se ne smije odmah ovako koristiti osim u nekim specijalnim slučajevima.

Zašto?..objašnjenje se može pogledati na 139 strani ove knjige:
http://www.scribd.com/doc/40594296/DINAMIKA-Vukojevic-Ekinovic

Nastavak ću napisati kasnije ako bude interesovanja.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: Kretanje tijela promjenjive mase 15.07.2012. u 12:33 · pre 174 meseca #2

Kako je nastao izraz pod 2)?Izgleda da je neko Njutnov zakon o vezi sile mase i ubrzanja malo "oplemenio" pa umjesto
$m\frac{dv}{dt}=F$ napravio "matematičkije" $\frac{d}{dt}(mv)=F$ .Jer pobogu masa takođe može biti varijabilna zaključio je taj neko,a ostali su prepisali.

Ispravno je reći da je za slučaj kada masa nije konstantna imamo reaktivnu silu.
Iz zakona o održanju količini kretanja izlazi $F_r=v_r\frac{dm}{dt}$

$v_r$ je relativna brzina koju ima diferencijal mase dm u odnosu na m.

$\frac{dm}{dt}$ je brzina promjene mase (maseni tok).

U dinamičkoj ravnoteži (Dalamber) učestvuju:
vanjska sila $F_v=F-G=F-qgz$ reaktivna sila $F_r=v_r\frac{dm}{dt}$ i inercijalna sila $F_i=-m\frac{dv}{dt}$

Za slučaj u ovom zadatku sa lancem $v_r=-v$ (masa m se kreće brzinom v duž z ose,a diferencijal dm miruje na tlu) pa je $F-qgz=v\frac{dm}{dt}+m\frac{dv}{dt}$ Desna strana izraza je specijalan slučaj pa zato nije ispravno poopštavanje kao što je navedeno gore na početku.

-Napravimo još smjene $v=\dot{z},m=qz,dm=qdz,\frac{dv}{dt}=\ddot{z}$ dolazimo do polazne dif.jednačine.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: Kretanje tijela promjenjive mase 15.07.2012. u 16:23 · pre 174 meseca #3

http://en.wikipedia.org/wiki/Variable-mass_system

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kretanje tijela promjenjive mase 16.07.2012. u 16:04 · pre 174 meseca #4

Ovaj gore link odlično objašnjava pojam reaktivne sile zbog promjene mase.
Nažalost,mnogo češće se nailazi na ovako nešto:
http://bs.wikipedia.org/wiki/Newtonovi_zakoni_kretanja
Poseban biser je ovaj citat:

"Iz te formule slijedi da je u slučaju konstantne mase (masa se može i mijenjati - npr. kod rakete) intenzitet sile jednak proizvodu mase tijela i ubrzanja koje tijelo dobije djelovanjem te sile:"

Ovo je na wikipediji,ali budite sigurni da autor to nije izmislio već je prepisao od nekog ko ima autoritet.
Istorija nastanka izraza d(mv)=mdv+vdm (u mehanici) upućuje na sredinu prošlog vijeka.U sklopu velike akcije za afirmaciju Ajnštajnove teorije relativnosti ugurana je u neke udžbenike.Po toj teoriji masa nije konstantna,već raste sa porastom brzine.m=f(v).
$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\frac{v}{c}}^2}}$
Dakle ne misli se na promjenljivu masu zbog razmjene materije sa okolinom.
Ali nigdje uz izraz nisu dali ovakvu napomenu.Naprotiv obično ide nešto slično navedenom citatu.

I kao što neki tvrde,ovo je čista zloupotreba Njutnove formule radi afirmacije TR.A posljedice su katastrofalne.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: Kretanje tijela promjenjive mase 17.07.2012. u 20:08 · pre 174 meseca #5

Ako je već taj neko proširio Njutnov zakon sa $F=m\frac{dv}{dt}$ na

$F=\frac{d}{dt}(mv)=m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt}$ .Umjesto ovoga,zašto nije uvrstio izraz za relativističku masu?

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\frac{v}{c}}^2}}$ pa dalje:

$F=m_0\frac{d}{dt}(\frac{v}{\sqrt{1-{\frac{v}{c}}^2}})$

$F=m_0(\frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v}{c}}^2}}+\frac{v^2}{c\sqrt{(1-{\frac{v}{c}}^2})^3})\frac{dv}{dt}$

Možda zato što je formula ružna.Ili zato što ubrzanje nije linearno ovisno o sili,pa u vektorskom obliku ne leže na istom pravcu.Zna li neko?

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: Kretanje tijela promjenjive mase 23.07.2012. u 01:18 · pre 173 meseca #6

Citat:

zzzz:
Ako je već taj neko proširio Njutnov zakon sa $F=m\frac{dv}{dt}$ na

$F=\frac{d}{dt}(mv)=m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt}$ .Umjesto ovoga,zašto nije uvrstio izraz za relativističku masu?

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\frac{v}{c}}^2}}$ pa dalje:

$F=m_0\frac{d}{dt}(\frac{v}{\sqrt{1-{\frac{v}{c}}^2}})$

$F=m_0(\frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v}{c}}^2}}+\frac{v^2}{c\sqrt{(1-{\frac{v}{c}}^2})^3})\frac{dv}{dt}$

Možda zato što je formula ružna.Ili zato što ubrzanje nije linearno ovisno o sili,pa u vektorskom obliku ne leže na istom pravcu.Zna li neko?

Zapravo, to je dobar pristup. Izraz se moze malo uprostiti.

Polazeci od

$F\: = \frac{\mathrm{dp} }{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{m_{0}\cdot v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \right ) = m_{0}\cdot\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \right )$

imamo

$F\: = m_{0}\cdot\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{v^{2}}-\frac{1}{c^{2}}}} \right ) = m_{0}\cdot\left ( -\frac{1}{2} \right )\cdot \left ( \frac{1}{v^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \right )^{-3/2}\cdot \left ( -2v^{-3} \right )\cdot \frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{d} t} = m_{0}\cdot \left ( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}} \right )^{-3/2}\cdot \frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{d} t}$

sto uz uobicajeno

$\gamma\: = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

daje

$F\: = m_{0}\cdot\gamma^{3} \cdot a$

Re: Kretanje tijela promjenjive mase 23.07.2012. u 14:53 · pre 173 meseca #7

Citat:

0rc: Zapravo, to je dobar pristup. Izraz se moze malo uprostiti. ---------------
-------------------------------- (da ne ponavljamo)
$F\: = m_{0}\cdot\gamma^{3} \cdot a$

Lijepo urađeno,formula je elegantna i ispravno izvedena.Čestitam Orc.

Ali ja takvu formulu nisam nigdje vidio u literaturi.Čudno!Da li neko zna gdje je možemo naći?
U svakom slučaju,a nakon ranijih razmatranja može se reći da nije ispravno

napisati: $F=m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt}$ (jer je m poznata funkcija od v.)

Dakle,relativistički ispravno napisan drugi Njutnov zakon mehanike je:

$\vec{F\:} = m_{0}\cdot\gamma^{3} \cdot \vec{a}$ --1)

Vidi se da će za konstantnu silu $\vec{F\:}$ ubrzanje $\vec{a}$ postepeno opadati jer zbog porasta brzine raste faktor $\gamma>1$ (a time i masa).

Naravno da za male brzine $v<<c$ sa kojima se srećemo u praksi
možemo zanemariti relativistički faktor.Tada će za $\gamma\approx1$
formula poprimiti oblik:

$\vec{F\:} = m_{0} \cdot \vec{a}$

Ova formula je zapravo klasična Njutnova gdje se smatra da je masa konstantna i neovisna o brzini: $m = m_{0}$

$\vec{F\:} = m\cdot \vec{a}$

Da ali šta će biti ako imamo kretanja velikim brzinama,takvim da se ne mogu zanemariti?Poštujući TR moramo uvažiti da će masa porasti.I to po Ajnštajnovom zakonu:

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}=m_0\cdot\gamma$ pa će Njutnova formula prerasti u:

$\vec{F\:} = m_0\cdot\gamma\cdot \vec{a}$ --2)

Uporedimo (relativistički korektno izvedene) jednačine 1) i 2).Da se zaključiti da je $\gamma^3=\gamma$

Odatle $\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}=1$ i dalje $(\frac{v}{c}})^2=0$ Ispade: $v=0$

Lijepo se da zaključiti (a u skladu sa relativističkom logikom),da su velike brzine koje se ne smiju zanemariti samo one brzine koje su jednake nuli.

Ko ovdje griješi:Ja,Orc ili Ajnštajn?Ko pogodi iz tri pokušaja razumije problem.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: Kretanje tijela promjenjive mase 23.07.2012. u 19:00 · pre 173 meseca #8

Citat:

Da ali šta će biti ako imamo kretanja velikim brzinama,takvim da se ne mogu zanemariti?Poštujući TR moramo uvažiti da će masa porasti.I to po Ajnštajnovom zakonu:

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}=m_0\cdot\gamma$ pa će Njutnova formula prerasti u:

$\vec{F\:} = m_0\cdot\gamma\cdot \vec{a}$ --2)

Uporedimo (relativistički korektno izvedene) jednačine 1) i 2).Da se zaključiti da je $\gamma^3=\gamma$

Odatle $\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}=1$ i dalje $(\frac{v}{c}})^2=0$ Ispade: $v=0$

Lijepo se da zaključiti (a u skladu sa relativističkom logikom),da su velike brzine koje se ne smiju zanemariti samo one brzine koje su jednake nuli.

Ko ovdje griješi:Ja,Orc ili Ajnštajn?Ko pogodi iz tri pokušaja razumije problem.

Drugi Njutnov zakon se uzima u obliku

$F=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t}$

pri cemu se koristi relativisticki impuls

$p=m_{0}\cdot v\cdot \gamma$

cime nestaje problem koji se javlja kada greskom izbegnes da diferenciras $\gamma$ po vremenu, sto si implicitno uradio u (2).
Inace, taj oblik koji si dobio u (2) vazi za komponente sile i ubrzanja normalne na pravac kretanja tela. Pogledaj ovde i ovde.

Re: Kretanje tijela promjenjive mase 25.07.2012. u 12:14 · pre 173 meseca #9

Da,slažem se.
Da nebi odlutali od osnovne ideje,a to je pokušaj da se razjasni pojam "promjenjiva masa",vratimo se malo nazad.

Neophodno je da se u literaturi odmah poslije formule: $F=m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt}$ doda nekoliko redova teksta naprimjer:

1)Relativističko objašnjenje pojma sa izvodima formula do kraja. $F_x\: = (m_{0}\cdot\gamma^{3}) \cdot a_x$ , , $F_{y,z}\: = (m_{0}\cdot\gamma) \cdot a_{y,z}$ ,gdje se vidi da masa ne liči na skalar,a rezultantno ubrzanje se ne poklapa sa pravcem djelovanja siloe.
(Ili kratko tekstualno objašnjenje pojma relativističke mase m=f(v) bar u fusnoti)

2)Klasično izvođenje formule $F=m\frac{dv}{dt}+v_R\frac{dm}{dt}$
sa naglaskom na značenju relativne brzine v_R kojom se masa priliva-odliva.Uz to i nekoliko navoda praktične primjene,među kojima i ovakve specijalne slučajeve (v_R=v,ili v_R=-v).

Bez ovog formula pravi veliku zabunu.Stiče se utisak da je neko imao ambiciju da je postavi kao univerzalnu.A zapravo nije ispravna za relativističku niti za klasičnu teoriju.Pogotovo što treba opisati sasvim različite fizikalne pojave.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme