Dokazivanje nejednakosti uz pomoc prvog izvoda

Primera radi, treba dokazati nejednakost: . Kako se uopšte razmišlja kod ovakvih zadataka?

Za

Prvi izvod je

Za x>0 pa je funkcija rastuća i za sve vrednosti važi tvrđenje .

Recimo meni pada na pamet da razvijes u Maklorenov red:



Odavde se lako vidi da je:

za svako x.

Kada je x=0, onda je =, za bilo koje drugo x, izraz sa leve strane je veci od izraza sa desne.


edit: nisam procitao naziv teme do kraja, kljucne reci "pomocu prvog izvoda". izvinjavam se.

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Ako je x<0 uvedimo smenu . Dobijamo:


Da bi ovo dokazali nađimo prvi izvod:
što naravno važi za svako x<0 odnosno t>0 jer važi . Time i onim iz moje prve poruke ovo je potpuno dokazano.

Hvala vam.
Mada mene zapravo najviše i buni primena prvog izvoda tu. Šta za funkciju znači da je prvi izvod veći od nule, tj da je ona rastuća...može ona biti i rastuća, ali i da preseče x-osu negde, zar ne? Ili ja to ipak, baš uopšte, nisam dobro ukapirala?

Nula funkcije f(x) je u 0. Tu grafik te funkcije dodiruje x-osu. Za svako veće x od 0 funkcija je rastuća. Šta to znači? Što je nezavisna promenljiva x veća to je veća i vrednost funkcije. Dakle ako je nula funkcije u nuli, a za sve vrednosti veće od te funkcija raste, za svako x veće od 0 funkcija će imati veću vrednost nego u tački gde je jednaka nuli.

To je ideja. Slično se ispituje i kada je x<0.

Ahaam...pa da, stvarno ima smisla. Hvala puno!

Inače, smena iz mog drugog odgovora na ovoj temi nije neophodna, čak sam bez nekog potrebnog razloga učinio stvar težom za rešavanje. Evo prostije, za x<0 , što je manje od 0, pa je funkcija na tom intervalu opadajuća, tj. opada od neke vrednosti do 0, koja se dostiže za x=0, što znači da je za sve vrednosti manje od 0 veća od vrednosti u tački , pri čemu .

Možda još prostiji način, koji neće baš uvek funkcionisati, ali prilično pojednostavljuje rešenje ove funkcije jeste nalaženje njenog ekstrema. Dakle nađemo prvi izvod:


On je jednak nuli u tački gde je , tj. , što se postiže za .

Dakle funkcija ima samo jedan ekstrem, ali ne znamo da li je to maksimum ili minimum. Međutim, pošto je , a , sledi da je to minimum funkcije, što pokazuje da je polazno tvrđenje tačno.

Hm, interesantno. Može li to eventualno da se primeni kada dokazujemo da fja ima jedinstvenu nulu? primera radi

U nekim slučajevima verovatno da. Evo elementarnog primera . Prvi izvod je , a to je jednako nuli za x=0. Pošto je ekstrem u tački f(0)=0, a sledi da je funkcija za svako , tacnije gde veća od nule. Pa je x=0 jedina nula ove funkcije. Dao sam lakši primer, ali uz malo kreativnosti trebalo bi da može i u nekim zahtevnijm zadacima primeniti.

Kako bi se moglo dokazati _

Nikako. Ta nejednakost nije tacna. je pozitivna funkcija, dok talasa i prelazi naizmenicno iz pozitivnog u negativni deo. Na primer, za je .

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Pardon, zaboravio sam reći u segmentu

Aham, hvala. Vjerovatno se to tako radi. Nismo to radili na vježbama, tako da će zadatak sačekati. Hvala u svakom slučaju