Fermi operatori i njihovo fizicko objasnjenje

Re: Fermi operatori i njihovo fizicko objasnjenje 24.12.2007. u 18:04 · pre 229 meseci #21

Herbutov pristup jeste malo neobičan, ali, barem mi tako moje iskustvo govori, omogućava brzo savladavanje kvantne mehanike i moćnih tehnika za rešavanje problema. Takođe, izbegava induktivno uvođenje kvantne mehanike koje skoro u svim slučajevima studente dovodi u situaciju da ono što uče dođe u koliziju sa već izgrađenom fizičkom intuicijom i obično rezultuje sporijim izgrađivanjem sposobnosti rešavanja kvantnomehaničkih problema zato što studenti imaju neprecizno formulisanu kvantnu mehaniku.

Međutim, problem za nekoga kao što si ti, koji pokušava da samostalno nauči nešto iz njegove knjige, je u tome što je vrlo lako izgubiti se u matematici i umesto da cilj bude usvajanje koncepata važnih za razumevanje i rešavanje fizičkih problema, cilj postaje sama matematika. Zbog svega toga je potreban vodič u vidu profesora i asistenta.

Moja greška je što ti ranije nisam rekao da batališ Herbuta, ali tek relativno skoro sam postao svestan da ti još ne slušaš kvantnu mehaniku, a i nemam pojma kako se kvantna predaje u Novom Sadu.

Ako hoćeš da učiš sam uzmi Greiner-a. Za sada ima 14 knjiga na engleskom jeziku koje pokrivaju osnovne i deo postdiplomskih studija. Napisane su sa namerom da zamene Landau-a i Lifšica koje su već zastarele i takođe da olakšaju život studentima isfrustriranim Landauovim "očiglednostima" (jedno "očigledno je" u Landau-ovoj knjizi je obično dobar ispitni zadatak). Zato u njima ništa nije preskočeno u obrazlaganju i računanju. Imaju obično po 150-200 detaljno rešenih primera i bile bi idealne za tebe.

Rastrči se po netu i naći ćeš. Dosta su popularne.

Re: Fermi operatori i njihovo fizicko objasnjenje 24.12.2007. u 18:32 · pre 229 meseci #22

[quote]petarm: Nisam bas zadovoljan ovim. Ako bas hoces i $\mathcal{H}$ je neki potprostor od $\mathcal{H}$ koji je gust u $\mathcal{H}$ . A $\mathcal{H}=\mathcal{H}^'$ . A u $\mathcal{H}$ nemam $\delta$ fju.

Ne razumem šta hoćeš da kažeš.

Re: Fermi operatori i njihovo fizicko objasnjenje 25.12.2007. u 12:27 · pre 229 meseci #23

Ti uvodis $(\mathcal{A}, \mathcal{H}, \mathcal{A}')$ jer ti treba da zatvoris skalarne proizvode tj. da normiras na $\delta$ fju u svojstvenom problemu operatora koordinate i operatora impulsa u koordinatnoj reprezentaciji. U $\mathcal{A}'$ ce se tebi naci $\delta$ fja. I ti sve to radis jer ti se u $\mathcal{H}$ ne nalazi $\delta$ fja.

Citat:

petarm: Nisam bas zadovoljan ovim. Ako bas hoces i $\mathcal{H}$ je neki potprostor od $\mathcal{H}$ koji je gust u $\mathcal{H}$ . A $\mathcal{H}=\mathcal{H}^'$ . A u $\mathcal{H}$ nemam $\delta$ fju.

Ja smatram da bi precizno bilo definisati $(\mathcal{S}, \mathcal{H}, \mathcal{S}')$ gde je $\mathcal{S}'$ prostor temperiranih distribucija i u njemu se sigurno nalazi $\delta$ fja.

A ako i kazes da ti je $\mathcal{H}$ razlicito od $\mathcal{A}$ , a to nije naglaseno u

Citat:

tomkeus: Može. Ja sam je savladao i dobio 10 kao i mnoge moje kolege, ali išao sam redovno na predavanja i vežbe, a njih nijedna knjiga ne može da zameni, inače nam fakulteti ne bi ni trebali.

Opremljeni Hilbertov prostor: je trojka $(\mathcal{A}, \mathcal{H}, \mathcal{A}')$ , gde je $\mathcal{H}$ neki Hilbertov prostor, a $\mathcal{A}$ neki njegov potprostor koji je gust u $\mathcal{H}$ . Skup $\mathcal{A}'$ je skup svih neprekidnih linearnih funkcionala na $\mathcal{A}$ , a kada je prethodno ispunjeno, onda je $\mathcal{H}$ podskup $\mathcal{A}'$ .

Na primer: $(C_0^\infty(\mathbb{R}), \mathcal{L}(\mathbb{R}), C_0^\infty(\mathbb{R})')$ . $C_0^\infty(\mathbb{R})$ je prostor svih kvadratno integrabilnih funkcija nenultih unutar konačnog intervala. $C_0^\infty(\mathbb{R})'$ je skup svih neprekidnih linearnih funkcionala na $C_0^\infty(\mathbb{R})$ i on sam je vektorski prostor jer svaki vektor definiše linearni funkcional preko skalarnog proizvoda i obrnuto (Riesz-Frechet-ov teorem). Iz njega se izdvaja potprostor $\mathcal{L}(\mathbb{R})$ koji je zatvarač skupa $C_0^\infty(\mathbb{R})$ . Na taj način smo zatvorili sve skalarne proizvode i obezbedili "lepe" osobine funkcija sa kojima radimo.

E sada, sve ovo što sam ti napisao ti uopšte nije potrebno da bi se bavio kvantnom mehanikom. Primetio sam kod tebe da se previše zadržavaš na matematičkim detaljima koji nisu bitni za fizičko razumevanje problema. Zapamti, za fizičare je matematika sredstvo kojime postižemo ciljeve, a ne cilj sam po sebi.

onda opet mi moras reci na osnovu cega tvrdis da se u $\mathcal{A}'$ nalazi $\delta$ fja.

P.S.
Hvala na preporuci knjiga. Pogledacu.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Fermi operatori i njihovo fizicko objasnjenje 25.12.2007. u 18:42 · pre 229 meseci #24

Citat:

petarm
onda opet mi moras reci na osnovu cega tvrdis da se u $\mathcal{A}'$ nalazi $\delta$ fja.

Razmotrimo $C_0^\infty(\mathbb{R})$ . Jedan niz u ovom skupu čine funkcije $f_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2 x^2}$ (lako se proverava da su ove funkcije iz $C_0^\infty(\mathbb{R})$ ). Ova funkcija ima maksimum u 0 i asimptotski teži pozitivnoj nuli i na levu i na desnu stranu. Kako n teži beskonačnosti tako vrednost funkcije u 0 teži beskonačnosti, a ponašanje kada n teži beskonačnosti možeš videti na grafiku koji je urađen za n=1, 10, 1000. Dakle, "vidi se" da ovo teži delta funkciji. To samo treba pokazati.

Uzmimo proizvoljnu funkciju $g(x)\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ i uvedimo funkciju h(x) takvu da je g(x)=g(0)+h(x). Očigledno je da i $h(x)\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ . Niz funkcija $f_n(x)$ definiše niz raspodela $\phi_n$ preko integrala

$\phi_n g(x)=\int_\mathbb{R} f_n(x) g(x) dx$

Razdvojimo oblast integracije na dva dela i napišimo g u obliku koji smo dali gore. Imamo

$\phi_n g(x)=\int _{|x|\leq 1}f_n(x)(g(0)+h(x))dx+\int_{|x|> 1}f_n(x)g(x)dx=\int_{|x|\leq 1} \frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2 x^2}g(0)dx+\int_{|x|\leq 1} \frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2 x^2}h(x)dx+\int_{|x|> 1}\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2 x^2}g(x)dx$

Označimo integrale redom $I_1, I_2, I_3$

Imamo da je

$I_1=\int_{|x|\leq 1} \frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2 x^2}g(0)dx=g(0)\mathrm{Erf}(n)$

, gde je Erf(n) funkcija greške i ona ima osobinu da teži ka 1 kada joj argument teži beskonačnosti. Dakle u graničnom slučaju kada n teži beskonačnosti $I_1\rightarrow g(0)$ .

Kako je g(x) ograničena (inače ne bi bila kvadratno integrabilna) tada je i h(x) ograničena i važi $h(x)\leq C|x|$ gde je C neka konstanta. Tada za integral $I_2$ važi

$I_2=\int_{|x|\leq 1} \frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2 x^2}h(x)dx\leq \frac{2Cn}{\sqrt{\pi}}\int_0^1 xe^{-n^2 x^2}dx=\frac{C}{n\sqrt{\pi}}(1-e^{-n^2})$

Vidimo da kada $n\rightarrow\infty$ integral $I_2\rightarrow 0$

I konačno pošto je i g(x) ograničena važi $g(x)\leq D$ . Imamo da je

$I_3=\int_{|x|> 1}\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2 x^2}g(x)dx\leq \frac{2Dn}{\sqrt{\pi}}\int_1^\infty e^{-n^2 x^2}dx=D(1-\mathrm{Erf}(n))$

Vidimo da i $I_3$ teži nuli kada n teži beskonačnosti.

Na kraju imamo da za niz raspodela važi

$\phi_n g(x)=I_1+I_2+I_3=g(0)$

kada n teži beskonačnosti. Gornja relacija predstavlja definicionu relaciju delta funkcije. Dakle, videli smo da niz funkcija $f_n(x)\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ teži delta funkciji. Raspodele čine $C_0^\infty(\mathbb{R})'$ i upravo smo pokazali da taj prostor sadrži delta funkciju.

edit: štamparske greške

graf.jpg14.48k

Re: Fermi operatori i njihovo fizicko objasnjenje 27.12.2007. u 11:08 · pre 229 meseci #25

Lepo! Svaka cast za trud da sve ovo iskucas!

Ti si napisao sledece

Citat:

tomkeus: Može. Ja sam je savladao i dobio 10 kao i mnoge moje kolege, ali išao sam redovno na predavanja i vežbe, a njih nijedna knjiga ne može da zameni, inače nam fakulteti ne bi ni trebali.

Opremljeni Hilbertov prostor: je trojka $(\mathcal{A}, \mathcal{H}, \mathcal{A}')$ , gde je $\mathcal{H}$ neki Hilbertov prostor, a $\mathcal{A}$ neki njegov potprostor koji je gust u $\mathcal{H}$ . Skup $\mathcal{A}'$ je skup svih neprekidnih linearnih funkcionala na $\mathcal{A}$ , a kada je prethodno ispunjeno, onda je $\mathcal{H}$ podskup $\mathcal{A}'$ .

Na primer: $(C_0^\infty(\mathbb{R}), \mathcal{L}(\mathbb{R}), C_0^\infty(\mathbb{R})')$ . $C_0^\infty(\mathbb{R})$ je prostor svih kvadratno integrabilnih funkcija nenultih unutar konačnog intervala. $C_0^\infty(\mathbb{R})'$ je skup svih neprekidnih linearnih funkcionala na $C_0^\infty(\mathbb{R})$ i on sam je vektorski prostor jer svaki vektor definiše linearni funkcional preko skalarnog proizvoda i obrnuto (Riesz-Frechet-ov teorem). Iz njega se izdvaja potprostor $\mathcal{L}(\mathbb{R})$ koji je zatvarač skupa $C_0^\infty(\mathbb{R})$ . Na taj način smo zatvorili sve skalarne proizvode i obezbedili "lepe" osobine funkcija sa kojima radimo.

Ono sto ja hocu da kazem je da ne mozes na primeru da dokazes opsti slucaj. Da si rekao $\mathcal{A}$ je $C_0^\infty(\mathbb{R})$ prihvatio bih tvoju pricu. Ovako ne mogu!

Ono sto ja tvrdim je sledece
Ja kazem da mi je prostor $\mathcal{S}$ prostor svih funcija $f$ sa svojstvom da funkcija i svi njeni izvodi brzo opadaju u beskonacnosti. Ovaj prostor u matematici zove se prostor Schwartza pa otuda oznaka $\mathcal{S}$ . I u njegovom dualu $\mathcal{S}'$ nalazi se delta funkcija. Moj problem u celoj ovoj prici je to tvoje $\mathcal{A}$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Fermi operatori i njihovo fizicko objasnjenje 27.12.2007. u 15:09 · pre 229 meseci #26

Kada imamo neki Hilbertov prostor $\mathcal{H}$ ne možemo da očekujemo da svi operatori koji su nam potrebni budu definisani, konačni ili da operacija sa njima budu definisane na celom $\mathcal{H}$ . Na primer, domen operatora položaja nije ceo prostor kvadratno integrabilnih funkcija već njegov podskup. Zato, za skup operatora koji he nama relevantan razmatramo maksimalni podskup $\mathcal{A}\subset\mathcal{H}$ na kome su ti operatori i operacija sa njima dobro definisane. Kada neki hermitski operator koji je definisan na $\mathcal{A}$ ima kontinualni deo spektra, njegovi svojstveni vektori se ne mogu nalaziti u $\mathcal{A}$ jer bi oni tada bili kvadratno integrabilni pa bi dotični operator imao diskretni spektar. Već je puno puta pomenuto da ovi svojstveni vektori dobijaju smisao kao raspodele koje deluju na $\mathcal{A}$ i čiji prostor obeležavamo sa $\mathcal{A}'$ . Ranije je pokazano da je prostor raspodela $\mathcal{A}'$ zatvarač prostora $\mathcal{H}$ zato što je $\mathcal{A}$ gust u $\mathcal{H}$ . Time imamo sledeće relacije $\mathcal{A}\subset\mathcal{H}\subset\mathcal{A}'$ . Ova trojka se zove opremljeni Hilbertov prostor.

Re: Fermi operatori i njihovo fizicko objasnjenje 20.03.2008. u 20:22 · pre 226 meseci #27

Malo sam detaljnije usao u ovu pricu u poslednje vreme i cini mi se da u tvom dokazu ima malo rupa. $C_0^\infty(\mathbb{R})$ je prostor fja koje imaju sve izvode. A koje su nula van nekog konacnog intervala. Ovo je prostor Svarca i oznacava se sa $\mathcal{D}$ . I u ovom prostoru nije $f_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2 x^2}$ jer ono se anulira tek u beskonacnosti, a nije nula van nekog konacnog intervala. Ali ova fja se nalazi u $\mathcal{S}$ koje je potprostor od $\mathcal{D}$ .

Citat:

tomkeus:

Kako je g(x) ograničena (inače ne bi bila kvadratno integrabilna)

edit: štamparske greške

_{[Ovu poruku je menjao tomkeus dana 26.12.2007. u 13:35 GMT+1]}

Ovo jeste ograniceno. Ali iz drugih razloga. Naime tvoja konstatacija stoji za integrabilnost po Rimanu, ali ne i za integrabilnost po Lebegu.

I jos jedna stvar koja nije formalne prirode, Da bi se isterala cela ova prica potrebno je krenuti od niza $f_n(x)=\frac{2n}{\sqrt{\pi}}e^{-n^2 x^2}$ .

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme