Ostala rešenja algebarske jednačine

Ostala rešenja algebarske jednačine 08.03.2025. u 19:49 · pre 20 meseci #1

Jedan lagan zadatak sa vida koji sam postavio ovde

https://www.elitesecurity.org/p4098333

Napominjem da zadatak tamo nije rešen.

Neka je $n$ prirodan broj i $p(x)=x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+\cdots+a_0$ za neke realne $a_0,\dots,a_{2n-1}$ . Ako je $p(1/k)=k^2$ za sve cele brojeve $k$ za koje je $1\leq|k|\leq n$ , naći preostala realna rešenja jednačine $p(1/x)=x^2$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ostala rešenja algebarske jednačine 10.03.2025. u 09:28 · pre 20 meseci #2

Da li se koristi neki interpolacioni polinom?

Re: Ostala rešenja algebarske jednačine 10.03.2025. u 11:04 · pre 20 meseci #3

Nema potrebe.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ostala rešenja algebarske jednačine 10.03.2025. u 14:53 · pre 20 meseci #4

Ne znam ima li interesovanja da pišem rešenja.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ostala rešenja algebarske jednačine 10.03.2025. u 19:27 · pre 20 meseci #5

Nemoj. Bar još neki dan.
Hoću sam da pokušam.
Ali ne stižem.

Re: Ostala rešenja algebarske jednačine 10.03.2025. u 19:52 · pre 20 meseci #6

U redu.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ostala rešenja algebarske jednačine 11.03.2025. u 13:52 · pre 20 meseci #7

Lako se dokaže da je:
a₁ = a₃ = a₅ =...=a_2n-1 = 0.

Traženje kooeficijenata:
a₀, a₂, a₄,...i a_2n-2
se pretvara u težak sistem, a nisam siguran da li ičemu vodi?

Rolova ili Lagranžova teorema?

Daj neki hint li celo rešenje.

Nemam ideju.

Re: Ostala rešenja algebarske jednačine 11.03.2025. u 16:25 · pre 20 meseci #8

Jednačina $p(t)=1/t^2$ ima rešenja $\pm 1/k$ za $1\leq k\leq n$ i ekvivalentna je jednačini $p(t)t^2-1=0$ . Prirom je $t^2p(t)-1$ moničan polinom stepena $2n+2$ kome su koreni $\pm 1/k$ za $1\leq k\leq n$ , pa je deljiv moničnim polinomom $\prod_{k=1}^n(t^2-1/k^2)$ stepena $2n$ , pa je preostali činilac monični polinom stepena 2.

Dakle, za $q(t)=\prod_{k=1}^n(t-1/k^2)$ i neke realne brojeve $a$ i $b$ važi $p(t)t^2-1=(t^2+at+b)q(t^2)$ .

Pritom je $q$ moničan polinom stepena $n$ , odnosno za neke realne $c_0,\dots,c_{n-1}$ važi $q(t)=t^n+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_0$ i

$t^2p(t)-1=(t^2+at+b)(t^{2n}+c_{n-1}t^{2n-2}+\cdots+c_0)$ .

Upoređivanjem slobodnih članova i koeficijenata uz $t$ na obe strane jednakosti dobijamo da je[/tex]

$-1=bc_0$ , $0=ac_0$ .

Obzirom na definiciju polinoma $q$ , njegov slobodni član $c_0$ je $(-1)^n/(n!^2)$ , pa je

$a=0$ , $b=(-1)^{n+1}n!^2$ .

Dakle, preostala rešenja jednačine $p(t)t^2-1=0$ su rešenja jednačine $t^2-(-1)^nn!^2$ .

Za $n$ neparno nema preostalih realnih rešenja, dok su za $n$ parno preostala rešenja $\pm n!$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Ostala rešenja algebarske jednačine 12.03.2025. u 08:17 · pre 20 meseci #9

Genijalno.

Bravo Nedeljko.

Re: Ostala rešenja algebarske jednačine 18.03.2025. u 00:23 · pre 19 meseci #10

Ovaj zanimljiv zadatak možemo rešiti i primenom Vijetovih formula.
Treba rešiti jednačinu
$P({1\over x})=x^2 \iff {1\over x^{2n}}+ a_{2n-1}{1\over x^{2n-1}}+ a_{2n-2}{1\over x^{2n-2}}+ \dots + a_{1}{1\over x^1} +a_0 -x^2 =0\iff$
${1\over x^{2n}}(1+ a_{2n-1}x^1+ a_{2n-2}x^2 +\dots+ a_{1}x^{2n-1}+ a_{0}x^{2n}+0\cdot x^{2n+1} -x^{2n+2})=0 \iff$
$1+ a_{2n-1}x^1+ a_{2n-2}x^2 +\dots+ a_{1}x^{2n-1}+ a_{0}x^{2n}+0\cdot x^{2n+1} -x^{2n+2}=0$
Pošto znamo 2n rešenja ove jednačine, preostala dva rešenja ( obeležimo ih sa u i v ) možemo odrediti pomoću Vijetovih formula:
$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + \dots + x_{2n-1}+ x_{2n}+ u+ v =-{b_{2n+1}\over {b_{2n+2}}},$
$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 \cdot \dots \cdot x_{2n-1}\cdot x_{2n}\cdot u\cdot v =(-1)^{2n+2}\cdot{b_{0}\over {b_{2n+2}}},$
gde smo sa $b_k$ obeležili koeficijent uz nepoznatu $x^k$ , u polinomu u poslednjoj jednačini. Iz ovih formula dobijamo sistem jednačina:
$1+(-1)+2+(-2)+3+(-3)+\dots +n+(-n)+u+v=-{0\over {-1}}\iff u=-v,$
$1\cdot(-1)\cdot2\cdot(-2)\cdot3\cdot(-3)\cdot\dots \cdotn\cdot n \cdot(-n)\cdot u\cdot v=(-1)^{2n+2}\cdot{1\over {-1}} \iff (-1)^n\cdot (n!)^2 \cdot u\cdot v=-1,$
Metodom zamene dobijamo da je $(-1)^n\cdot (n!)^2 \cdot (-v^2) =- 1.$
Za neparno n, data jednačina, osim navedenih nema druga realna rešenja.
Ako je n paran broj, rešenja poslednje jednačine su realna, pa data jednačina osim rešenja $\{\pm 1,\pm 2, \pm3,\dots,\pm n\} }$ , ima i rešenja $\{ \pm {1\over {n!}} \}.$

Re: Ostala rešenja algebarske jednačine 18.03.2025. u 17:15 · pre 19 meseci #11

Hvala na još jednom rešenju.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme