Tih 5 rešenja su x = e^(i(2kPi/5)), k=0,1,2,3,4
Dakle, prvo rešenje je x = e^0 = 1 (očigledno i iz jednačine).
Traženo rešenje je ovo drugo, tj. e^(i(2Pi/5)) = cos(2Pi/5)+i*sin(2Pi/5).
Sada, z^5 - 1 = 0 = (z - 1) * (1 + z + z^2 + z^3 + z^4).
Prvo rešenje je z=1, a ostala 4 rešenja su različita od 1 i dobijaju se iz jednačine: 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 = 0.
Sada podeliš ovu jednčinu sa z^2 (pošto z nije nula kada važi ova jednakost), pa je
z^(-2) + z^(-1) + 1 + z + z^2 = 0.
Sada se iskoristi smena y = z + 1/z, pa se dobija jednačina: y^2 + y - 1 = 0.
Od dva rešenja ove kvadratne jednačine za smenu je validno samo jedno, tj. (-1 + sqrt(5))/2, jer je drugo negativno, a za argument 2Pi/5 (drugo rešenje polazne jednačine) važi z + 1/z = z + z_k = 2*cos(2Pi/5) što je pozitivno, gde je z_k konjugovano-kompleksan broj od z, pa je:
z + 1/z = 2*cos(2Pi/5) = (-1 + sqrt(5))/2,
tj.
cos(2pi/5) = (-1 + sqrt(5))/4
sin se nalazi iz jednakosti sin^2 + cos^2 = 1.
Blessed are those who can laugh at themselves, for they shall never cease to be amused.
Kompleksan broj, sinus i kosinus
