Hitno pomoc oko zadatka iz logaritmovanja

Evo ja cu probati da odgovorim. Malo sam zardjao sto se tice matematike al ako ima gresaka slobodno ispravljajte

$log_2\frac{|x^2-2x|+4}{|x+2|+x^2}\leq0$

Apsolutne vrednosti:

$|x^2-2x|=\cases{x^2-2x,&x^2-2x\geq0 \Rightarrow x\in(-\infty,0]\cup[2,+\infty)\cr 2x-x^2,&x^2-2x<0 \Rightarrow x\in(0,2)}$

$|x+2|=\cases{x+2,&x+2\geq0 \Rightarrow x\geq-2\cr -x-2,&x+2<0 \Rightarrow x<-2}$

Sad imamo 4 kombinacije 2x2 apsolutne vrednosti...

1.
$log_2\frac{x^2-2x+4}{x^2+x+2}\leq0$

Domen:
$x^2+x+2\neq0 \Rightarrow x\in\mathbb{R}$
$\frac{x^2-2x+4}{x^2+x+2}>0\Rightarrow x\in\mathbb{R}$
Domen: $x\in\mathbb{R}$

$2^0\geq\frac{x^2-2x+4}{x^2+x+2}\Rightarrow1-\frac{x^2-2x+4}{x^2+x+2}\geq0\Rightarrow\frac{3x-2}{x^2+x+2}\geq0\Rightarrow x\in[\frac{2}{3},+\infty)$
Resenje: $\bigg(x\in(-\infty,0]\cup[2,+\infty)\bigg)\cap \bigg(x\geq-2\bigg) \cap \bigg(x\in\mathbb{R}\bigg) \cap \bigg(x\in[\frac{2}{3},+\infty)\bigg) \Rightarrow x\in[2,+\infty)$

2.
$log_2\frac{x^2-2x+4}{x^2-x-2}\leq0$

Domen:
$x^2-x-2\neq0 \Rightarrow x\neq \{2,-1\}$
$\frac{x^2-2x+4}{x^2-x-2}>0\Rightarrow x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$
Domen: $x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$

$2^0\geq\frac{x^2-2x+4}{x^2-x-2}\Rightarrow 1-\frac{x^2-2x+4}{x^2-x-2}\geq0\Rightarrow \frac{x-6}{x^2-x-2}\geq0\Rightarrow x\in[-1,2]\cup[6,+\infty)$
Resenje: $\bigg(x\in(-\infty,0]\cup[2,+\infty)\bigg) \cap \bigg(x<-2\bigg) \cap \bigg(x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)\bigg) \cap \bigg(x\in[-1,2]\cup[6,+\infty)\bigg) \Rightarrow x\in\emptyset$

3.
$log_2\frac{-x^2+2x+4}{x^2+x+2}\leq0$

Domen:
$x^2+x+2\neq0 \Rightarrow x\in\mathbb{R}$
$\frac{-x^2+2x+4}{x^2+x+2}>0\Rightarrow x\in(1-\sqrt{5},1+\sqrt{5})$
Domen: $x\in(1-\sqrt{5},1+\sqrt{5})$

$2^0\geq\frac{-x^2+2x+4}{x^2+x+2}\Rightarrow 1-\frac{-x^2+2x+4}{x^2+x+2}\geq0\Rightarrow \frac{2x^2-x-2}{x^2+x+2}\geq0\Rightarrow x\in(-\infty,\frac{1-\sqrt{17}}{4}]\cup[\frac{1+\sqrt{17}}{4},+\infty)$
Resenje: $\bigg(x\in(0,2)\bigg)\cap\bigg(x\geq-2\bigg)\cap\bigg(x\in(1-\sqrt{5},1+\sqrt{5})\bigg)\cap\bigg(x\in(-\infty,\frac{1-\sqrt{17}}{4}]\cup[\frac{1+\sqrt{17}}{4},+\infty)\bigg)\Rightarrow x\in[\frac{1+\sqrt{17}}{4},2)$

4.

Ovde je resenje $x\in\emptyset$ zato sto apsolutne vrednosti nemaju zajednickih elemenata...

Konacno resenje je unija svih slucajeva a to je: $x\in[\frac{1+\sqrt{17}}{4},2)\cup x\in[2,+\infty)\Rightarrow x\in[\frac{1+\sqrt{17}}{4},+\infty)$

Potpis

Eureka!

MILAN DJUKIC
D J U K A

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme