Arkusi bez digitrona :)

Arkusi bez digitrona :) 11.12.2012. u 23:47 · pre 169 meseci #1

Treba da izračunam bez kalkulatora koliko je
$2arctg4+arcsin\frac{8}{17}$

Neki slični su rešavani pomoću pravouglog trougla sa stranicama 8, 15 i 17 u (ovom slučaju) ali to izgleda ovde ne ide.
Molim za objašnjenje...

Re: Arkusi bez digitrona :) 12.12.2012. u 00:10 · pre 169 meseci #2

Ako je $\alpha=\arcsin(8/17)$ , koliko je $\tan(\alpha)$ ? Pa, prvo je $|\alpha|\leq \pi/2$ i $\sin(\alpha)=8/17$ na osnovu definicije arkussinusa. No, onda možemo zaključiti da je $\cos(\alpha)=\sqrt{1-(8/17)^2}=15/17$ , pa je $\tan(\alpha)=8/15$ . Odatle i iz $|\alpha|\leq \pi/2$ sledi da je $\alpha=\arctan(8/15)$ . Dakle, tebe zanima koliko je

$\arctan(4)+\arctan(4)+\arctan(8/15)$ .

Neka je $f(x,y)=\arctan(x)+\arctan(y)-\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ .

Obziom da je

$\tan(\arctan(x)+\arctan(y))=\tan\left(\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\right)$

funkcija $f$ sve tačke za koje je definisana slika u celobrojne umnoške broja $\pi$ . No, domen joj se sastoji iz tri oblasti:

$D_1=\{(x,y)\in R^2\,|\,xy<1\}$ ,
$D_2=\{(x,y)\in R^2\,|\,xy>1\,\land\,x,y>0\}$ ,
$D_3=\{(x,y)\in R^2\,|\,xy>1\,\land\,x,y<0\}$ .

Obzirom da je funkcija $f$ neprekidna, neprekidna slika povezanog skupa je povezan, a kodomen funkcije je potpuno nepovezan, ona je na svakoj od oblasti konstantna. Nije teško videti da se $D_1$ slika u nulu (jer se tačka $(0,0)$ slika u nulu), $D_2$ u $\pi$ (npr. na osnovu limesa kada $x,y\rightarrow\infty$ ), a $D_3$ u $-\pi$ (na osnovu limesa kada $x,y\rightarrow-\infty$ ).

Stoga je

$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ za $xy<1$ ,
$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)+\pi$ za $xy>1$ i $x,y>0$ ,
$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)-\pi$ za $xy>1$ i $x,y<0$ ,
$\arctan(x)+\arctan(y)=\pi/2$ za $xy=1$ i $x,y>0$ ,
$\arctan(x)+\arctan(y)=\pi/2$ za $xy=1$ i $x,y<0$ .

Poslednje dve relacije slede otuda što su tangensi oštrih uglova koji se dopunjuju do pravog recipročni i neparnosti tangensa.

Dakle,

$\arctan(4)+\arctan(4)=\arctan(-8/15)+\pi$ ,

pa je ceo zbir jednak $\pi$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Arkusi bez digitrona :) 12.12.2012. u 22:40 · pre 169 meseci #3

Zahvaljujem na trudu i vremenu

Mada, nije mi baš jasan deo sa povezanim skupovima. Zaboravih da napomenem da se traži rešenje na nivou gradiva za srednju školu.

Imam još jednu nedoumicu:
Za x i y iz [-1,1] treba dokazati da je

arccos x + arccos y =\begin{cases}
arccos(xy-\sqrt{1-y^2}\sqrt{1-x^2}) & x+y \geq 0 \\ 
2\pi-arccos(xy-\sqrt{1-y^2}\sqrt{1-x^2}) & x+y <  0
\end{cases}

(dva slučaja su, ali ne umem da otkucam zagradu da bude velika

)
Ako je $acccos x = \alpha, acccos y = \beta$ i $arccos(xy-\sqrt{1-y^2}\sqrt{1-x^2})=\gamma$ tada dobijam prvi slučaj na osnovu formule za $cos(\alpha + \beta)$ i osnovne trigonometrijske jednakosti primenjene na $\alpha$ i na $\beta$ . Treba mi pomoć oko toga gde da primenim data ograničenja za x+y i kako da dobijem slučaj dva.

Re: Arkusi bez digitrona :) 12.12.2012. u 23:39 · pre 169 meseci #4

$\frac\pi 2<\arctan(4)+\arctan(4)<\pi$ ,

pa je svakako

$-\frac\pi 2<\arctan(4)+\arctan(4)-\pi<\frac\pi 2$ ,

odnosno postoji $t$ takvo da je

$2\arctan(4)-\pi=\arctan(t)$ .

Njega određujemo računanjem tangensa

$t=\tan(2\arctan(4)-\pi)=\tan(2\arctan(4))=\frac{2\tan(\arctan(4)}{1-\tan^2(\arctan(4))}=\frac{2\cdot 4}{1-4^2}=-\frac 8{15}$ .

Dakle,

$2\arctan(4)=\pi+\arctan\left(-\frac 8{15}\right)=\pi-\arctan\left(\frac 8{15}\right)$ ,

odnosno $2\arctan(4)+\arcsin(8/17)=\pi$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Arkusi bez digitrona :) 13.12.2012. u 01:19 · pre 169 meseci #5

Ja se izvinjavam, ali ne uspevam da shvatim odakle

Citat:

Nedeljko: $\frac\pi 2<\arctan(4)+\arctan(4)<\pi$ ,

pa je svakako

$-\frac\pi 2<\arctan(4)+\arctan(4)-\pi<\frac\pi 2$ ,

Odakle ova prva relacija? Kako se dobija $\arctan(4)+\arctan(4)-\pi<\frac\pi 2$ ?

Re: Arkusi bez digitrona :) 13.12.2012. u 02:44 · pre 169 meseci #6

Akrustangens je rastuća funkcija ograničena između $-\pi/2$ i $\pi/2$ .

$\pi/4=\arctan(1)<\arctan(4)<\pi/2$ .

Pomnožimo ovo sa 2 i oduzmimo od toga $\pi$ .

$-\pi/2<2\arctan(4)-\pi<0$ ,

pa samim tim i

$-\pi/2<2\arctan(4)-\pi<\pi/2$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Arkusi bez digitrona :) 14.12.2012. u 10:05 · pre 169 meseci #7

e sada je jasno.

Hvala puno.

Jel znaš odgovor na ovo

Citat:

nePonovljivA:
Za x i y iz [-1,1] treba dokazati da je

arccos x + arccos y =\begin{cases}
arccos(xy-\sqrt{1-y^2}\sqrt{1-x^2}) & x+y \geq 0 \\ 
2\pi-arccos(xy-\sqrt{1-y^2}\sqrt{1-x^2}) & x+y <  0
\end{cases}

(dva slučaja su, ali ne umem da otkucam zagradu da bude velika

)
Ako je $acccos x = \alpha, acccos y = \beta$ i $arccos(xy-\sqrt{1-y^2}\sqrt{1-x^2})=\gamma$ tada dobijam prvi slučaj na osnovu formule za $cos(\alpha + \beta)$ i osnovne trigonometrijske jednakosti primenjene na $\alpha$ i na $\beta$ . Treba mi pomoć oko toga gde da primenim data ograničenja za x+y i kako da dobijem slučaj dva.

Re: Arkusi bez digitrona :) 14.12.2012. u 17:40 · pre 169 meseci #8

Pa, broj je arkuskosinus nečega akko je u intervalu $[0,\pi]$ . Što se brojeva iz npr. $[0,2\pi]$ tiče, oni imaju isti kosinus akko su isti ili im je zbir jednak $2\pi$ . Probaj tako primenom teoreme o kosinusu zbira.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Arkusi bez digitrona :) 14.12.2012. u 20:17 · pre 169 meseci #9

Pa kao što rekoh, prema uvedenim oznakama, ja stižem do $cos (\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta =xy-\sqrt{1-x^{2}} \sqrt{1-y^{2}}$ , što mi daje nadu da sam blizu rešenja ali ne umem da primenim uslove.

Re: Arkusi bez digitrona :) 14.12.2012. u 21:09 · pre 169 meseci #10

Neka je na primer $x,y\in[0,1]$ . U tom slučaju je

$\arccos(x),\arccos(y)\in[0,\pi/2]$ ,

pa je $\arccos(x)+\arccos(y)\in[0,\pi]$ , a to je $\arccos(t)$ za neko $t$ .

$t\in[-1,1]$ se lako određuje iz uslova

$t=\cos(arccos(t))=\cos(arccos(x)+\arccos(y))=xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$ .

Znači,

$\arccos(x)+\arccos(y)=\arccos(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2})$ .

Neka je sada $x\leq 0\leq y$ i $x+y\geq 0$ . To znači da je $y\geq-x$ i $\arccos(x)=\pi-\arccos(-x)$ , odakle je $\arccos(y)\leq \arccos(-x)$ , pa je

$\arccos(x)+\arccos(y)=\pi-\arccos(-x)+\arccos(y)\in[0,\pi]$ , a to je $\arccos(t)$ za neko $t\in[-1,1]$ . Stoga je

$t=\cos(\arccos(t))=\cos(\arccos(x)+\arccos(y))=\cos(\arccos(x)+\arccos(y))=xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}$

jer zbog $\arccos(x)\in[0,\pi]$ važi $\sin(\arccos(x))\in[0,1]$ , odnosno $\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$ .

E, sad probaj da izvedeš reostale slučajeve.

Edit: Ispravka greške.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme