[Algebra 1] Ideali

[Algebra 1] Ideali 25.02.2012. u 22:50 · pre 179 meseci #1

Neka je ${\bf P}$ komutativan prsten sa jedinicom i neka je $I$ ideal prstena ${\bf P}$ . $I\subseteq {\bf P}$ je maksimalan ideal ako je:
1. $I$ pravi ideal ( $I\neq P, I\neq <0>$ )
2. Ako je $I\subset J$ , $J$ je ideal prstena ${\bf P}$ , tada je $J={\bf P}$ .

E sad, imamo na primer sledecu teoremu:
Teorema. Neka je ${\bf P}$ komutativan prsten sa jedinicom i neka je $I$ maksimalan ideal prstena ${\bf P}$ . Tada je ${\bf P}/I$ polje.

I sad, u dokazu se koristi sledeci argument:

Neka je $I+x \in{\bf P}/I$ koji je razlicit od nule. Tada vazi $I \subset <I,x>$ , pa je ${\bf P}=<I,x>$

E sada mene zanima, otkud nama da je $<I,x>$ ideal prstena ${\bf P}$ (jer to mora da vazi, ako vazi gornja konstatacija, jer je $I$ maksimalan ideal).

oznaka: $<I,x>=\{\alpha x + i| \alpha \in P, i \in I\}$

I da, jedno pitanje pored ovoga, ideali se definisu kao podgrupe aditivnog dela prstena (ima jos jedna osobina koju zadovoljavaju, al to me sad ne zanima).
Jel u tom duhu posmatramo sledeci zapis (ovo vazi za glavno idealske domene): $I=<a>=\{ax|x\in P, a\in I\}$ , tj. ideal je generisan sa jednim elementom, al hocu reci, jel se $<a>$ definise ovako jer smo u aditivnoj notraciji? (nisam bio na ovom predavanju, al meni je to zaista logicno, jer da je u pitanju multiplikativna notacija, onda bih znao (kao za ciklcne grupe npr.), a ovde ide ovako jer je aditivna)
I da, ideale ne moze da definisemo kao podgrupe multiplikativnog dela prstena, jer multiplikativni deo prstena nije grupa?

****offtopic

kako da napisem znak za pravi podskup, ali sa precrtanom crtom, koliko sam izguglao to se postize pomocu naredbe

Code:
\subsetneq

ali za njeno koriscenje mi je potreban paket \amssymb, a koliko vidim on nije dostupan ovde na forumu LINK

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: [Algebra 1] Ideali 26.02.2012. u 02:25 · pre 179 meseci #2

Citat:

Sonec:
****offtopic

kako da napisem znak za pravi podskup, ali sa precrtanom crtom, koliko sam izguglao to se postize pomocu naredbe

Code:
\subsetneq

ali za njeno koriscenje mi je potreban paket \amssymb, a koliko vidim on nije dostupan ovde na forumu LINK

Može, ali se tu nešto komplikuje zbog ovdašnje implementacije LaTeX-a, ne znam ni ja previše tehničkih detalja. Postupa se ovako:

Code:
[ $\text{[math]}$ tex]
\font\amssy=msbm12
$A\mathrel{\hbox{\amssy\char40}}B$
[/tex]

Rezultat: $\font\amssy=msbm12 $A\mathrel{\hbox{\amssy\char40}}B$$ .

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: [Algebra 1] Ideali 26.02.2012. u 08:45 · pre 179 meseci #3

Citat:

Sonec: E sada mene zanima, otkud nama da je $<I,x>$ ideal prstena ${\bf P}$ (jer to mora da vazi, ako vazi gornja konstatacija, jer je $I$ maksimalan ideal).

oznaka: $<I,x>=\{\alpha x + i| \alpha \in P, i \in I\}$

Aksiome ideala se u ovom slučaju dokazuju. Koju aksiomu ne umeš da dokažeš?

Citat:

Sonec: Jel u tom duhu posmatramo sledeci zapis (ovo vazi za glavno idealske domene): $I=<a>=\{ax|x\in P, a\in I\}$ , tj. ideal je generisan sa jednim elementom, al hocu reci, jel se $<a>$ definise ovako jer smo u aditivnoj notraciji? (nisam bio na ovom predavanju, al meni je to zaista logicno, jer da je u pitanju multiplikativna notacija, onda bih znao (kao za ciklcne grupe npr.), a ovde ide ovako jer je aditivna)

$<a>$ je najmanji ideal koji sadrži $a$ . Dakle, $a\in<a>$ , ali onda za ma koje $x\in P$ mora da važi $ax\in<a>$ . Obzirom da je $\{ax\,:\,x\in P\}$ ideal, što se lako proverava, onda je to najmanji ideal koji sadrži $a$ .

Citat:

Sonec: I da, ideale ne moze da definisemo kao podgrupe multiplikativnog dela prstena, jer multiplikativni deo prstena nije grupa?

Podgrupe možemo posmatrati u bilo kom monoidu, pa i multiplikativnom monoidu prstena. Međutim, ovako uvedeni ideali su najvažnija podstruktura prstena jer opisuju kongruencije, tj. najvažnije relacije ekvivalencije.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: [Algebra 1] Ideali 27.02.2012. u 18:53 · pre 179 meseci #4

Citat:

Nedeljko: Aksiome ideala se u ovom slučaju dokazuju.

1. $<I,x>$ je podgrupa od $(P,+,0)$
Neka su $\alpha x+i, \beta x+j \in <I,x>, \alpha,\beta \in P, i,j \in I$ . Tada je $\alpha x+i +\beta x+j = (\alpha + \beta)x+(i+j)$ , a $\alpha+\beta \in P$ (jer je $(P,+,0)$ grupa) i $i+j \in I$ jer je $(I,+,0)<(P,+,0)$ ( $I$ je podgrupa grupe $P$ ), to je i $(\alpha + \beta)x+(i+j) \in <I,x>$
Neka je $\alpha x+i \in <I,x>$ , $\alpha \in P, i \in I$ , tada je $-(\alpha x+i)=-\alpha x+(-i)$ (gde je $-$ inverzna operacija grupe $(P,+,0)$ ). Slicnim argumentima dobijamo da $-(\alpha x+i)\in <I,x>$ .
Pa dobijamo da je $<I,x>$ podgrupa grupe $(P,+,0)$ .

2. Ako je $\alpha x +i \in <I,x>$ i $\beta \in P$ , tada je $(\alpha x +i)\beta=\alpha\beta x+i\beta$ , a kako je $\alpha \beta \in P$ ( $(P,\cdot)$ je monoid), a $i\beta \in I$ (jer je $I$ ideal), to je i $(\alpha x +i)\beta \in <I,x>$ , tj. $<I,x>P\subseteq <I,x>$

OK?

Citat:

Nedeljko: Podgrupe možemo posmatrati u bilo kom monoidu

Jel mozes ovo malo da pojasnis ili da navedes neki primer. Cudno mi je da monoid moze da ima podgrupu.

@Bojan hvala

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: [Algebra 1] Ideali 27.02.2012. u 20:36 · pre 179 meseci #5

Izvođenje ti je OK. No, šta nije jasno u tome da u nekom podmonoidu monoida svi elementi budu inverzibilni?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: [Algebra 1] Ideali 27.02.2012. u 21:26 · pre 179 meseci #6

Ako je ${\bf A}$ podgrupa grupe ${\bf B}$ , onda je ujedno i ${\bf A}$ grupa. To vazi, zar ne?

Kako ces da uvedes u podmonoid operaciju za inverz $^{-1}$ kad ona ne postoji u monoidu. Jer sve operacije iz monoida predstavljaju restrikcije operacija na domen skupa koji je podskup domena monoida. Ili je mozda i neces uvoditi, samo ces reci $a\cdot b=e$ ?

Aj da pitam i ovo, da li moze da podalgebra semigrupe bude grupa? Kako cemo tu, kad nemamo neutralni element?

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

algebra_1.png54.32k

Re: [Algebra 1] Ideali 28.02.2012. u 01:15 · pre 179 meseci #7

Nisam se mnogo udubljivao, jer je teorija, ali ako je komutativni prsten sa jedinicom,
onda i multiplikativna operacija ima neutralni element.

Re: [Algebra 1] Ideali 28.02.2012. u 18:47 · pre 179 meseci #8

Citat:

Sonec: Ako je ${\bf A}$ podgrupa grupe ${\bf B}$ , onda je ujedno i ${\bf A}$ grupa. To vazi, zar ne?

Kako ces da uvedes u podmonoid operaciju za inverz $^{-1}$ kad ona ne postoji u monoidu. Jer sve operacije iz monoida predstavljaju restrikcije operacija na domen skupa koji je podskup domena monoida. Ili je mozda i neces uvoditi, samo ces reci $a\cdot b=e$ ?

Aj da pitam i ovo, da li moze da podalgebra semigrupe bude grupa? Kako cemo tu, kad nemamo neutralni element?

Grupu možeš da definišeš i samo na jeziku grupoida.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: [Algebra 1] Ideali 28.02.2012. u 18:51 · pre 179 meseci #9

Ajde pokazi. Ali kada je definises, predstavi je i kao n-torku (domen, operacije, konstante, znas vec).

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: [Algebra 1] Ideali 28.02.2012. u 20:13 · pre 179 meseci #10

Nema tu šta da se dokazuje. Kao što je monoid polugrupa u kojoj postoji bar jedan element sa osobinom da je neutralan za binarnu operaciju (pri čemu oznaka za njega ne mora da bude u jeziku), tako je i grupa polugrupa u kojoj postoji bar jedan element sa osobinama

1. da je neutralan i
2. da postoji operacija koja je u odnosu na njega operacija invertovanja,

pri čemu nas niko ne bije po ušima da tu operaciju stavljamo u jezik. Takođe, izaberi bilo koju grupu, "zaboravi" šta su neutral i operacija inverza i oni će moći da se rekonstruišu na tačno jedan način.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: [Algebra 1] Ideali 28.02.2012. u 20:59 · pre 179 meseci #11

Samo mi navedi primer. Preko primera se najlakse uci.

Ako ta operacija, oznaka, sta god, nije u jeziku, gde je onda?

To je malo pokvaren nacin konstruisanja grupe.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: [Algebra 1] Ideali 28.02.2012. u 21:07 · pre 179 meseci #12

U onome sto tebi treba, nema "menjanja" operacije, zar ne?

Re: [Algebra 1] Ideali 29.02.2012. u 01:14 · pre 179 meseci #13

U definiciji.

Kao što možeš reći da su neke polugrupe monoidi, a neke nisu. Ili u polugrupi postoji neutralni element ili ne postoji.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: [Algebra 1] Ideali 29.02.2012. u 01:37 · pre 179 meseci #14

Ajde navedi jednu takvu definiciju. Npr, za grupu, al preko jezika grupoida.

I primer podmonoida monoida kome su svi elementi inverzibilni. Pre bih se zadovoljio sa primerom semigrupe koja ima podalgebru koja je grupa, al bice dovoljno i za monoid samo.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: [Algebra 1] Ideali 29.02.2012. u 01:44 · pre 179 meseci #15

Citat:

Sonec:
Pre bih se zadovoljio sa primerom semigrupe koja ima podalgebru koja je grupa, al bice dovoljno i za monoid samo.

Recimo, polugrupa $(\{a,b\},*)$ , gde je $*$ definisana sa $a*a=a*b=b*a=b*b=a$ . Tada je podalgebra $(\{a\},*|_{\{a\}})$ posmatrane polugrupe grupa.

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: [Algebra 1] Ideali 29.02.2012. u 02:04 · pre 179 meseci #16

Da, sve ce proci, jeste grupa. Ali grupa sa jednim elementom, poprilicno trivijalna grupa.

Cini mi se da sam negde pre vec video slican primer, i to upravo od tebe Bojane.

Al i dalje bih zeleo da vidim definiciju grupe preko jezika grupoida. (mislim da znam kako bi ona glasila, al sacekacu Nedeljka ili nekoga drugoga da je kaze/ispise)

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: [Algebra 1] Ideali 29.02.2012. u 02:29 · pre 179 meseci #17

Citat:

Sonec:
Da, sve ce proci, jeste grupa. Ali grupa sa jednim elementom, poprilicno trivijalna grupa.

Napravi sam koliko god velik primer hoćeš: prosto namontiraj tako da ti u jednom ćošku bude kvadrat $n\times n$ koji je grupa, a ostatak tablice popuni kako god želiš, pazeći jedino na asocijativnost (jedna mogućnost: popuni čitav ostatak tablice jednim te istim elementom).

Citat:

Sonec:
Al i dalje bih zeleo da vidim definiciju grupe preko jezika grupoida. (mislim da znam kako bi ona glasila, al sacekacu Nedeljka ili nekoga drugoga da je kaze/ispise)

Ja moram priznati da i dalje ne vidim gde zapinješ. No dobro, evo definicije.

Grupoid $\font\amssy=msbm12 $\hbox{\amssy\char71}=(G,*)$$ je grupa akko $(\forall g,h,t\in G)((g*h)*t=g*(h*t))$ i $(\exists e\in G)\Big((\forall g\in G)(g*e=e*g=g)\wedge(\forall g\in G)(\exists h\in G)(g*h=h*g=e)\Big)$ .

Da li se možda nešto ne razumemo?

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: [Algebra 1] Ideali 29.02.2012. u 10:24 · pre 179 meseci #18

Da, tako sam i mislio.

Al ne svidja mi se taj nacin kako god da okrenes, no, to je moja stvar.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: [Algebra 1] Ideali 30.04.2018. u 13:50 · pre 103 meseca #19

Podskup skupa svih polinoma sa osobinom da je p(1) = 0 je ideal prstena polinoma (P, +, *).

Da li je glavni ideal?

Ako gledam aditivnu operaciju, onda nije.

Ako gledam multiplikativnu operaciju, onda jeste, jer je generator ideala polinom x-1.

Mislim da jeste, ali bih voleo da otklonim neodumicu.

Re: [Algebra 1] Ideali 30.04.2018. u 16:44 · pre 103 meseca #20

Ideal komutativnog prstena $P$ sa jedinicom je skup $I\subseteq P$ koji ima osobine:

$0\in I\land 1\not\in I$ ,
$a\in P\land b\in I\Rightarrow ab\in I$ ,
$a,b\in I\Rightarrow a+b\in I$ .

Ideal $I$ komutativnog prstena $P$ je glavni ako postoji $g\in P$ takav da je $I=\{ga\,:\,a\in P\}.$

Odgovor na tvoje pitanje je potvrdan.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme