Darbuove sume...

Darbuove sume... 05.02.2012. u 02:30 · pre 179 meseci #1

Kako se resavaju zadatci tipa:

Ako su P1={1,2,5} i P2={1,2,3,4,5} dve podele intervala [1,5] tada je za funkciju f(x)=x+1:

1) s(f,P1)=
2) S(f,P1)=
3) $s(f,P1)\leq\int _1 ^5 f(x)dx\leq S(f,P2)$

Pod 3 treba odgovoriti sa tacno/netacno.

Re: Darbuove sume... 05.02.2012. u 10:13 · pre 179 meseci #2

Postoje gornja i donja Darbuova suma: $\overline{S}(f,P)=\sum_{k=1}^{n}\sup_{x_{k-1}\le x \le x_{k}}f(x)(x_{k}-x_{k-1})$ i $\underline{S}(f,P)=\sum_{k=1}^{n}\inf_{x_{k-1}\le x \le x_{k}}f(x)(x_{k}-x_{k-1})$ , gde je $P:a=x_0<x_1<...<x_{n-1}<x_n=b$ podela intervala $[a,b]$ pri cemu se zahteva da je funkcija $f$ ogranicena.
Dok, pak, Rimanov zbir je $S(f;P,\xi)=\sum_{k=1}^{n}f(\xi_k)(x_{k}-x_{k-1})$ gde je $\xi=(\xi_1,...\xi_n)$ izbor istaknuth tacaka podele $P$

Neke korisne osobine: ako je $P_1 \preceq P_2 \hskip5pt(P_1$ finija od $P_2$ ) tada je $\overline{S}(f,P_1)\le \overline{S}(f,P_2), \hskip10pt \underline{S}(f,P_1)\ge \underline{S}(f,P_2)$ , zatim, ako su $P_1$ i $P_2$ u bilo kojem odnosu uvek vazi $\underline{S}(f,P_1)\le \overline{S}(f,P_2)$ i mozda jos, za svaki izbor istaknutih tacaka $\xi$ vazi $\underline{S}(f,P)\le S(f;P,\xi) \le \overline{S}(f,P)$

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Darbuove sume... 05.02.2012. u 16:24 · pre 179 meseci #3

Samo ispravi $P_1 \preceq P_2$ za $P_2 \preceq P_1$ , tada kazemo da je P₁ finija od P₂ i tada vaze nejednakosti $\overline{S}(f,P_1)\le \overline{S}(f,P_2)$ i $\underline{S}(f,P_1) \ge \underline{S}(f,P_2)$

Re: Darbuove sume... 05.02.2012. u 17:08 · pre 179 meseci #4

Moj profesor Analize je sa $P_1 \preceq P_2$ obelezavao cinjenicu da je podela $P_1$ finija od podele $P_2$ (a ne $P_2 \preceq P_1$ ), al bez obzira na to, ja sam u zagradi objasnio sta sam podrazumevao pod tim zapisom, i date nejednakosti tada i vaze, tako da nema potrebe da nista menjam. Ovaj zapis vise odgovara Rimanovom visestrukom integralu, dok kod Rimanogov integrala bi odgovarao zapis $P_1 \supseteq P_2$ (podela $P_1$ je finija od podele $P_2$ , odnosno, podela $P_2$ je grublja od podele $P_1$ ). Ako se negde uci da ova oznaka znaci suprotno, onda je to njihova stvar. Za mene je logicniji zapis kako sam ja stavio, al ako se nekome to ne svidja, on to moze da obelezi kako mu je volja.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: Darbuove sume... 05.02.2012. u 18:09 · pre 179 meseci #5

Kod mene u knjizi Predavanja iz Analize 1 je oznaceno bas suprotno kao sto si napisao... probao sam da nadjem na internetu kako se oznacava finija podela, ali nasao sam samo definiciju sa relacijom $\subseteq$ ... Meni nije logicniji, ali u pravu si, ako si tako definisao onda nemoj nista da menjas! :)

Srodne teme