Zadatak iz diferencijalne jednačine

Zadatak iz diferencijalne jednačine 09.11.2011. u 13:12 · pre 182 meseca #1

Zadatak glasi: Naći opšte rešenje diferencijalne jednačine: x^2*(1-lnx)*y''+x*y'-y=(1-lnx), ako je poznato jedno rešenje homogene y1=x.

Kako se ovo rešava? Da li je isto kao kada bi s desne strane od jednako bila 0, ili ne? Je'l zna neko šablon?
Hvala!:-)

2

Re: Zadatak iz diferencijalne jednačine 09.11.2011. u 17:17 · pre 182 meseca #2

Prvo reši homogenu jednačinu. Njoj ćeš sniziti red za jedan uvođenjem najpre smene $y(x)=y_1(x)z(x)$ , gde je $y_1(x)$ jedno poznato rešenje homogene jednačine. Dobićeš homogenu jednačinu u kojoj se ne pojavljuje nediferencirana nepoznata funkcija, pa onda uvedi smenu $u(x)=z'(x)$ . Time ćeš sniziti red jednačine za jedan. Zapamti dobro ovaj opšti postupak snižavanja reda homogene linearne diferencijalne jednačine kada je poznato bar jedno netrivijalno rešenje! Onda imaš linearnu homogenu jednačinu prvog reda, koja je rešava na uobičajen način. Tako ćeš rešiti homogenu jednačinu. Onda možeš rešiti nehomogenu Lagranževom metodom varijacije proizvoljnih konstanti.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zadatak iz diferencijalne jednačine 09.11.2011. u 21:25 · pre 182 meseca #3

Opšte rešenje je:

$y_O=c_2x-c_1\ln x-\ln x \ln |1-\ln x|+\frac{x}{e}\text{Ei}(1-\ln x)-1$ , gde je $Ei(x)=\int \frac{e^x}{x} \, dx$

Ako ne uspeš da rešiš javi ovde, ja sam uradio ceo zadatak, al me mrzi da kucam ceo.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Zadatak iz diferencijalne jednačine 10.11.2011. u 02:19 · pre 182 meseca #4

Ajde da napišem rešenje, možda nekome bude od koristi.

$x^2(1-\ln x)y\text{''}+x y'-y=1-\ln x$
$x^2 (1 - ln x) y'' + x y' - y = 0$
$y_1=x z(x)$

$x^2(1-\ln x)(2z'+x z\text{''})+x(z+x z')-x z=0$

$x^2(1-\ln x)2z'+x^3(1-\ln x)z\text{''}+x^2z'=0$ delimo sa $x^2\neq 0$

$(1-\ln x)2z'+x(1-\ln x)z\text{''}+z'=0$

Smena $z'(x)=u(x), z\text{''}(x)=u'(x)$

$(1-\ln x)2u+u+x(1-\ln x)u'=0$

$u(3-2\ln x)=-x(1-\ln x)\frac{\text{du}}{\text{dx}}$

$\frac{\text{du}}{u}=\frac{(3-2\ln x)}{-x(1-\ln x)}$

$\ln u=\int \frac{3-2\ln x}{-x(1-\ln x)} \, dx=-2 (\ln x-1)+\ln (\ln x-1)+\ln C=\ln \left(e^{-2 (\ln x-1)}(\ln x-1)C\right)$

$u=C e^2\frac{\ln x-1}{x^2}=C_1\frac{\ln x-1}{x^2} ,C_1= C e^2$

$z=C_1\int \frac{\ln x-1}{x^2} \, dx=-C_1\frac{\ln x}{x}+C_2$

Sada imamo rešenje homogene.

$y_h=x z=-C_1\ln x+C_2x$

Lagranž

$-C_1'\ln x+C_2'x=0$
$-\frac{C_1'}{x} +C_2'=\frac{1-\ln x}{x^2(1-\ln x)}$

$C_1'=\frac{\left| \begin{array}{cc} 0 & x \\ \frac{1}{x^2} & 1 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} -\ln x & x \\ -\frac{1}{x} & 1 \end{array} \right|}=\frac{-\frac{1}{x}}{-\ln x+1}=\frac{1}{x(\ln x-1)}\Longrightarrow C_1=\int \frac{1}{x({\ln x}-1)} \, dx=\ln \left|1-\ln x \right|+D_1$

$C_2'=\frac{\left| \begin{array}{cc} -\ln x & 0 \\ -\frac{1}{x} & \frac{1}{x^2} \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} -\ln x & x \\ -\frac{1}{x} & 1 \end{array} \right|}=\frac{-\frac{ \ln x}{x^2}}{-\ln x+1}=\frac{\ln x}{x^2(\ln x-1)}\Longrightarrow C_2=\int \frac{\ln x}{x^2(\ln x-1)} \, dx=-\frac{1}{x}+\frac{1}{e}\mathrm{Ei}(1-\ln x)+D_2$

$y_O=-C_1\ln x+C_2x=-\ln x \left(\ln (1-\ln x)+D_1\right)+\left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{e}\mathrm{Ei}(1-\ln x)+D_2\right)x$

$y_O= -\lnx \ln (1-\ln x)-\ln x D_1 -1+\frac{x}{e}\mathrm{Ei}(1-\ln x)+D_2x$
$y_O=D_2 x-D_1\ln x - \lnx \ln (1-\ln x) +\frac{x}{e}\mathrm{Ei}(1-\ln x)-1$

$\int \frac{\ln x}{x^2(\ln x-1)} \, dx=| \ln x=t,x=\left.e^t\right|=\int \frac{t-1+1}{e^t(t-1)} \, dt=\int \frac{1}{e^t} \, dt+\int \frac{e^{-t}}{(t-1)} \, dt=|t-1=s,t=s+1|=-e^{-t}+\int \frac{e^{-s-1}}{s} \, ds=-e^{-t}+\frac{1}{e} \mathrm{Ei}(-s)=-e^{-t}+\frac{1}{e} \mathrm{Ei}(-t+1)=-e^{-\ln x}+\frac{1}{e}\mathrm{Ei}(-\ln x +1)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{e} \mathrm{Ei}(1-\ln x)+c$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

1

Re: Zadatak iz diferencijalne jednačine 13.11.2011. u 18:04 · pre 182 meseca #5

A kako si došao do onoga sto sam na slici zaokružio crveno?

2

Re: Zadatak iz diferencijalne jednačine 14.11.2011. u 22:07 · pre 182 meseca #6

Nema slike.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme