Geometrija......(C)

Geometrija......(C) 29.07.2011. u 14:19 · pre 185 meseci #1

Neka je AM precnik kruga opisanog oko trougla ABC i neka taj precnik sece stranicu BC u tacki D.Ako su E i F podnozja normala iz D na stranicu AB ,odnosno AC,dokazati da je EF||BC.

Kako da rijesim zadatak Primjenom kompleksnih brojeva,na razne nacine pokusavam ali mi ne ide sve se vrtim u krug.Znam da i ako se ovakva metoda zbog icega izbegava to je zbog dosadnog racuna,al meni ne treba cijelo rjesenje nego samo neke smjernice kako da dodjem do rjesenja.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Geometrija......(C) 29.07.2011. u 15:47 · pre 185 meseci #2

Geometrijsko rešenje je krajnje jednostavno: uglovi ABM i ACM su uglovi nad prečnikom, pa su pravi, a onda iz sličnosti trouglova AED i ABM, kao i ADF i AMC, sledi da je AE:AB=AD:AM=AF:AC, pa odatle imamo paralelnost traženih pravih.

Potpis

"Ne teče reka, nego voda. Kao što ne prolazi vrijeme, nego mi"

Re: Geometrija......(C) 29.07.2011. u 19:50 · pre 185 meseci #3

Znam takvo rjesenje ali mi je potrebna pomoc oko pirmjene kompleksnih brojeva.Evo ih tri rjesenja zadatka.
1 Nacin
$\angle{ABM}=\frac{1}{2}\angle{ADM}=\frac{\pi}{2}$
$\angle{ACM}={\pi \over 2}\Longrightarrow \angle{ACM}=\angle{ABM}$
$\angle{AED}=\angle{ABM}=90^\circ$ , $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AM}=\frac{ED}{BM}$ , $\frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AM}=\frac{AE}{AB}\Longrightarrow EF||BC$ ,poslednje je slijedilo iz obrnute Talesove teoreme.

2 Nacin Moze se direktno pokazati primjenom Cevine teoreme $\frac{\sin\angle{AED}}{\sin\angle{BED}}\cdot\frac{\sin\angle{CFD}}{\sin\angle{AFD}}=1\Leftrightarrow \triangle{AEF} \sim \triangle{ABC}\Longrightarrow \angle{AEF}=\angle{ABC}\Longrightarrow FE||BC$ .

3 Nacin Neka je $AM \cap EF=\{R\}$ ,zakljucak slijedi i iz $\frac{\sin\angle{EAR}}{\sin\angle{RAF}}=\frac{ER}{RF}\cdot \frac{AF}{AE} \land \frac{\sin\angle{BAD}}{\sin\angle{DAC}}=\frac{BD}{DC}\cdot \frac{AC}{AB}\Leftrightarrow \frac{\sin\angle{EAR}}{\sin\angle{RAF}}=\frac{\sin\angle{BAD}}{\sin\angle{DAC}}\Longrightarrow \frac{BD}{DC}\cdot \frac{AC}{AB}=\frac{ER}{RF}\cdot \frac{AF}{AE}$

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Geometrija......(C) 31.07.2011. u 11:36 · pre 185 meseci #4

Svako vektorsko planimetrijsko izvođenje se može preformulisati kao kompleksno.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Geometrija......(C) 31.07.2011. u 12:48 · pre 185 meseci #5

Moze jos malo pojasnjenja?

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Geometrija......(C) 31.07.2011. u 17:58 · pre 185 meseci #6

z=a+ib ili z=(a,b) za kompleksno z i realne a i b.

Probaj zadatak da rešiš analitički.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Geometrija......(C) 01.08.2011. u 11:47 · pre 185 meseci #7

Moze li da se napise: $e=\frac{1}{2}\left(a+b-{ab \over d}\right)$ i $f={1 \over 2}\Bigg(a+c-\frac{ac}{d}\Bigg)$

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Geometrija......(C) 02.08.2011. u 13:28 · pre 185 meseci #8

$e-f=\frac{1}{2}\left(a+b-{ab \over d}\right)-{1 \over 2}\Bigg(a+c-\frac{ac}{d}\Bigg)$
$e-f=\left(\frac{bd-dc-ab+ac}{2d}\right)$
$\overline{e}-\overline{f}=\Bigg({2(ac-dc-ab+db) \over abc}\Bigg)$
$\frac{e-f}{\overline{e}-\overline{f}}={\left(\frac{bd-dc-ab+ac}{2d}\right) \over \Bigg({2(ac-dc-ab+db) \over abc}\Bigg)$ $\Longrightarrow \frac{e-f}{\overline{e}-\overline{f}}={abc \over 4d}$
U cemu je problem?
Ili kako dalje da nastavim?

_{[Ovu poruku je menjao edisnp dana 02.08.2011. u 14:40 GMT+1]}

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Srodne teme