Citat:
petarm: Fizicari rade nesto zbog cega se pojedini matematicari jeze
:)
Ocito da se pojavljuju dva
-a koja nisu ista :)
Tesko je naci na primer neku knjigu iz nuklearne fizike gde nemate slucaj:
Ovo je zakon radioaktivnog raspada.
Da, javljanja promenljive u granicama su slobodna (bar u smislu da nisu pod dejstvom integrala, već ničega ili eventualno nečega spolja), a javljanja promenljive po kojoj se vrši integracija pod integralom i u okviru diferencijala su vezana, tj. ograničena.
Formalno je
ispravno i potpuno ekvivalentno sa
. Međutim, preporučljivo je izbegavati prvi način pisanja da bi se manje grešilo. Zato profesori to ne daju studentima - da bi manje padali na ispitima. Iz istog razloga se često zabranjuje primena Sarusovog ili Lopitalovog pravila, ondnosno formula
,
koja važi u celoj kompleksnoj ravni, navodi se samo u realnom slučaju (jer liči na rastavljanje kompleksnog broja na realni i imaginarni deo, što je tačno samo u realnom slučaju).
Potpis
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
= 
nije ničiji izvod onda 
nije ničiji diferencijal, odnosno navedeni integral nema smisla.
.
a ne 
= 
= 
a sin je neka konstanta.
se kraće piše 
. Podintegralna funkcija se mora množiti sa diferencijalom, tako da je sve jednoznačno, a zapis je takav da bi zbunio (caka zadatka je u tome). Međutim, formalno je sve u redu.
predstavlja koeficijent atenuacije, a 
debljinu na kojoj intenzitet zracenja ima vrednost 
. Na samom ulazu u metu x-zracenje ima intenzitet 
. Da bi nam svima bilo zabavnije ja cu ovo napisati u formi :)
, nikad ne bih pomislio da to predstavlja proizvod dve promenljive, gde smo eto tako prvu obeležili regularom a drugu kurzivom. Naprotiv, ako bismo želeli da zadatak formulišemo na manje zbunjujuć način, verovatno bi trebalo upravo obratno: 
(obeležavanje diferencijala regularnim 
nije toliko neobično).
![\[\begin{array}{l}
T1. \to \int {dx} = x + C \\
T2. \to \int {{x^n}dx} = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C \\
T3. \to \int {\frac{{dx}}{x}} = \ln x + C \\
T4. \to \int {{e^x}} dx = {e^x} + C \\
T5. \to \int {{a^x}} dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C \\
T6. \to \int {\sin xdx} = - \cos x + C \\
T7. \to \int {\cos xdx} = \sin x + C \\
T8. \to \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x + C \\
T9. \to \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = - {\mathop{\rm ctg}\nolimits} + C \\
T10. \to \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = \arcsin x + C = - \arccos + C \\
T11. \to \int {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = {\mathop{\rm arctg}\nolimits} x + C = - {\mathop{\rm arcctg}\nolimits} x + C \\
T12. \to \int {\sinh xdx} = \cosh x + C \\
T13. \to \int {\cosh xdx} = \sinh x + C \\
T14. \to \int {\frac{{dx}}{{{{\cosh }^2}x}}} = {\mathop{\rm tgh}\nolimits} x + C \\
T15. \to \int {\frac{{dx}}{{{{\sinh }^2}x}}} = - {\mathop{\rm ctgh}\nolimits} x + C \\
T16. \to \int {\frac{{dx}}{{1 - {x^2}}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{1 + x}}{{1 - x}}} \right| + C = {\mathop{\rm arctgh}\nolimits} x + C \\
T17. \to \int {\frac{{dx}}{{{x^2} - 1}}} = \frac{1}{2}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C = - {\mathop{\rm arcctgh}\nolimits} x + C \\
T18. \to \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + C = {\mathop{\rm arcsinh}\nolimits} x + C \\
T19. \to \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}} = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + C = {\mathop{\rm arccosh}\nolimits} x + C \\
\end{array}\]](https://static.elitesecurity.org/tex/0c96177fc3257f0df9b0cb92ca62fadc.png)
![\[T1. \to \int {dx} = x + C\]](https://static.elitesecurity.org/tex/a8c010e3d8c11e599588fd7dd634f723.png)
![\[\begin{array}{l}
T4. \to \int {{e^x}} dx = {e^x} + C \\
{\rm{Dokaz}}\,{\rm{(Proof):}} \\
\int {{e^x}} dx = \left| \begin{array}{l}
{e^x} = t \\
{e^x}dx = dt \\
\end{array} \right| = \int {dt} = t = {e^x} \\
\end{array}\]](https://static.elitesecurity.org/tex/2ddf3f57769c2a126d951c3b35b09aa8.png)
![\[\begin{array}{l}
T6. \to \int {\sin xdx} = - \cos x + C \\
{\rm{Dokaz}}\,{\rm{(Proof):}} \\
\int {\sin xdx} = \left| \begin{array}{l}
\cos x = t \\
- \sin xdx = dt \\
\sin xdx = - dt \\
\end{array} \right| = - \int {dt} = - t = - \cos x \\
\end{array}\]](https://static.elitesecurity.org/tex/580f0b91639ffe3da574955399041a6a.png)
![\[\begin{array}{l}
T7. \to \int {\cos xdx} = \sin x + C \\
{\rm{Dokaz}}\,{\rm{(Proof):}} \\
\int {\cos xdx} = \left| \begin{array}{l}
\sin x = t \\
\cos xdx = dt \\
\end{array} \right| = \int {dt} = t = \sin x \\
\end{array}\]](https://static.elitesecurity.org/tex/a6fc7c1f329a10fa0551ffef3b572a75.png)
![\[\begin{array}{l}
T12. \to \int {\sinh xdx} = \cosh x + C \\
{\rm{Dokaz}}\,{\rm{(Proof):}} \\
\int {\sinh xdx} = \left| \begin{array}{l}
\cosh x = t \\
\sinh xdx = dt \\
\end{array} \right| = \int {dt} = t = \cosh x \\
\end{array}\]](https://static.elitesecurity.org/tex/f8b65296d380210301010ee7462f986e.png)
![\[\begin{array}{l}
T13. \to \int {\cosh xdx} = \sinh x + C \\
{\rm{Dokaz}}\,{\rm{(Proof):}} \\
\int {\cosh xdx} = \left| \begin{array}{l}
\sinh x = t \\
\cosh xdx = dt \\
\end{array} \right| = \int {dt} = t = \sinh x \\
\end{array}\]](https://static.elitesecurity.org/tex/e2481fcd2e83198bce6deb8d2fbc0c87.png)
![\[\begin{array}{l}
T8. \to \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = {\mathop{\rm tg}\nolimits} x + C \\
{\rm{Dokaz}}\,{\rm{(Proof):}} \\
\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = \left| \begin{array}{l}
{\mathop{\rm tg}\nolimits} x = t \\
x = {\mathop{\rm arctg}\nolimits} t \\
dx = \frac{1}{{1 + {t^2}}}dt \\
\cos x = \frac{1}{{\sqrt {1 + {t^2}} }} \\
\end{array} \right| = \int {\frac{{\frac{1}{{1 + {t^2}}}}}{{{{\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 + {t^2}} }}} \right)}^2}}}dt} = \int {\frac{{\frac{1}{{1 + {t^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {t^2}}}}}dt} = \int {dt} = t = tgx \\
\end{array}\]](https://static.elitesecurity.org/tex/2b9fc30ab4cdf632fdebfbd8f97ed616.png)
![\[\begin{array}{l}
T10. \to \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = \arcsin x + C = - \arccos x + C \\
{\rm{Dokaz}}\,{\rm{(Proof):}} \\
\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = \left| \begin{array}{l}
x = \sin t \Rightarrow t = \arcsin x \\
dx = \cos tdt \\
\end{array} \right| = \int {\frac{{\cos tdt}}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} }}} = \left| \begin{array}{l}
{\sin ^2}t + {\cos ^2}t = 1 \\
{\cos ^2}t = 1 - {\sin ^2}t \\
\end{array} \right| = \int {\frac{{\cos tdt}}{{\cos t}}dt} = \int {dt} = t = \arcsin x \\
Ili\,(Or) \\
\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = \left| \begin{array}{l}
x = \cos t \Rightarrow t = \arccos x \\
dx = - \sin tdt \\
\end{array} \right| = \int {\frac{{ - \sin tdt}}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}t} }}} = \left| \begin{array}{l}
{\sin ^2}t + {\cos ^2}t = 1 \\
{\sin ^2}t = 1 - {\cos ^2}t \\
\end{array} \right| = \int {\frac{{ - \sin tdt}}{{\sin t}}dt} = - \int {dt} = - t = - \arccos x \\
\end{array}\]](https://static.elitesecurity.org/tex/1c284359868e2d1e2b1ab93ab4f69e3e.png)
![\[\begin{array}{l}
T11. \to \int {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = {\mathop{\rm arctg}\nolimits} x + C = - {\mathop{\rm arcctg}\nolimits} x + C \\
{\rm{Dokaz}}\,{\rm{(Proof):}} \\
\int {\frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}} = \left| \begin{array}{l}
x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} t = \frac{{\sin t}}{{\cos t}} \\
dx = \frac{1}{{{{\cos }^2}t}}dt \\
t = {\mathop{\rm arctg}\nolimits} x \\
\end{array} \right| = \int {\frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}t}}}}{{1 + \frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}}}}dt} = \int {\frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}t}}}}{{\frac{{{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}}}}dt = \left| {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t = 1} \right| = \int {dt} = t = } {\mathop{\rm arctg}\nolimits} x \\
\end{array}\]](https://static.elitesecurity.org/tex/d65d0b49b995481964158681b72da138.png)
![\[\begin{array}{l}
T14. \to \int {\frac{{dx}}{{{{\cosh }^2}x}}} = {\mathop{\rm tgh}\nolimits} x + C \\
{\rm{Dokaz}}\,{\rm{(Proof):}} \\
\int {\frac{{dx}}{{{{\cosh }^2}x}}} = \left| \begin{array}{l}
{\mathop{\rm tgh}\nolimits} x = t \\
x = {\mathop{\rm arctgh}\nolimits} t \\
dx = \frac{1}{{1 - {t^2}}}dt \\
\cos x = \frac{1}{{\sqrt {1 - {t^2}} }} \\
\end{array} \right| = \int {\frac{{\frac{1}{{1 - {t^2}}}}}{{{{\left( {\frac{1}{{\sqrt {1 - {t^2}} }}} \right)}^2}}}dt} = \int {\frac{{\frac{1}{{1 - {t^2}}}}}{{\frac{1}{{1 - {t^2}}}}}dt} = \int {dt} = t = {\mathop{\rm tgh}\nolimits} x \\
\end{array}\]](https://static.elitesecurity.org/tex/6ffda4ff0209d5b6f0e28e2f26a220f2.png)
![\[\begin{array}{l}
T2. \to \int {{x^n}} dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C \\
{\rm{Dokaz}}\,{\rm{(Proof):}} \\
\int {{x^n}} dx = \left| {{x^n} = {e^{n\ln x}}} \right| = \int {{e^{n\ln x}}dx} = \left| \begin{array}{l}
n\ln x = t \\
n\frac{{dx}}{x} = dt \\
\ln x = \frac{t}{n} \to x = {e^{\frac{t}{n}}} \\
\end{array} \right| = \int {{e^t}\frac{{{e^{\frac{t}{n}}}dt}}{n}} = \frac{1}{n}\int {{e^{\frac{{t(n + 1)}}{n}}}dt} = \left| \begin{array}{l}
\frac{{t(n + 1)}}{n} = u \\
\frac{{(n + 1)}}{n}dt = du \\
dt = \frac{n}{{n + 1}}du \\
\end{array} \right| = \frac{1}{n}\int {{e^u}\frac{n}{{n + 1}}du} = \frac{1}{{n + 1}}{e^u} = \\
= \frac{1}{{n + 1}}{e^{\frac{{t(n + 1)}}{n}}} = \frac{1}{{n + 1}}{e^t}{e^{\frac{t}{n}}} = \frac{1}{{n + 1}}{e^{n\ln x}}x = \frac{1}{{n + 1}}{x^n}x = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} \\
\end{array}\]](https://static.elitesecurity.org/tex/b5c082e59306df3d264a020da8fda2d8.png)
