Zadatak iz vjerovatnoce: Postoji li greska u logici?

Na ispitu iz Statistike i Vjerovatnoce sam dobio sledeci zadatak:



Ja sam prvo oznacio odsjecke i to
AC - odsjecak x
CD - odsjecak y
DB - odsjecak z

Trazi se P(x<y).

Iz postavke zadatka dobijamo da je x+y+z=l <=> x+y=l-z

Kako vjerovatnoca P ne zavisi od duzine duzi l (ista je za svako l), to je onda ona ista i za svako l-z, takvo da je l-z>0, tj. z<l, sto je ispunjeno.

Dakle, zadatak se moze pojednostaviti na duz AD, koja je sa tackom C podijeljena na dva dijela, x i y. Jasno je da je vjerovatnoca da je x<y jednaka jednoj polovini. Ipak, da ne bih samo napisao ovaj zakljucak, ovo sam rijesio preko geometrijske vjerovatnoce, cisto da zadovoljim neku normu, tj. nacrtao sam pravougaoni koordinatni sistem, na apscisi i ordinati sam oznacio duzinu (x+y) i normale iz ove tacke na apscisu i ordinatu cine kvadrat koji je prostor dogadjaja. Uslov da je x<y polovi ovaj kvadrat, pa je vjerovatnoca odnos ovih povrsina. I naravno dobije se rezultat jedna polovina.

Nakon ispita sam dobio rijesenja i rezulatat jeste 1/2, ali zadatak mi nije priznat. Nisam jos stigao da odem do asistenta da provjerim gdje sam pogrijesio, ali me zanima da li postoji neka logicka mana u mom rjesenju ovog zadatka?

Ovako odokativno ne vidim problem na prvi pogled. Možda je stvar u tome što su hteli da se raspiše analitički?

Zadatak je ekvivalentan zadatku "odrediti verovatnoću da od dva slučajno izabrana pozitivna broja, čiji je zbir manji od l, prvi bude manji od drugog". Jasno je da su oba broja ravnopravna, pa da rezultat mora biti 1/2. Može se nacrtati i sličica: trougao x>0, y>0, x+y<l, koji ima površinu l²/2 i šrafirati njegova polovina 0<x<y, x+y<1, koja ima površinu l²/4.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Znaci sam zadatak je cudno postavljen, jer odsjecak z uopste ne utice na ovu vjerovatnocu i tu je samo kao diverzija. Sve sto je bitno je odnos odsjecaka x i y, a tako sam i uradio zadatak i rijesenje se dobije nakon par redova (opisao sam postupak dolaska do rijesenja u prvoj poruci).

Medjutim asistent je ovaj zadatak rijesio na 2 i po stranice. Mogu slikati i okaciti njegovo rjesenje ako nekog zanima. Nije mi jasno cemu toliko komplikovanje, zato sam i postavio temu, mislio sam da sam ja napravio previd, ali cini se da je i moje rjesenje sasvim validno.

Ako je l fiksirano, onda je z jednoznačno određeno preko x i y, pa imaš dvostruki, a ne trostruki integral.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Problem je u tome što je skup rešenja jednačine skup Lebegove mere nula. Zato sam ga razmatrao kao dvodimenzioni.

Na kraju krajeva, zadatak je postavljen tako da se nasumično biraju dve tačke. Ako smatramo da su tačke na realnoj pravoj i da je , , onda imamo dvodimenzion problem nasumičnog izbora tačaka i . Naravno, mora biti . To je trougao površine . Podskup njegovih tačaka, koje zadovoljavaju uslov je trougao površine .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Zanemari duž DB. Skup mogućih događaja je da tačka C padne negde između A i D, a pozitivan ishod se dešava ako je tačka pala u levu polovinu duži AD tako da je |AC| = |AD| / 2 . Dakle, od sve geometrije treba koristiti samo duži AC i AD (uz pažnju da ne uvredimo Libiga!).

Zakacio sam rijesenje asistenta u ovoj poruci. Rukopis je malo necitak, ali mislio sam da je najbolje da ga stavim u originalnoj formi.

Pa, ova formulacija ne odgovara onoj iz prvog posta, jer je tamo rečeno da važi raspored ACDB, a u ovom rešenju može biti i ADCB.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Moguce da je u tome problem. Zadatak sam napisao po sjecanju (tj. po mom shvatanju, evo kako glasi tacno, tj. kako je napisan na ispitu):



Znaci dio o rasporedu tacaka sam dodao jer sam pisao po sjecanju. Imajuci ovo u vidu, stoji pitanje iz naslova teme, gdje je greska u logici?

Zasto pristup koji sam primjenio nije tacan? Slucajno se biraju dve tacke na toj pocetnoj duzi, kako cemo mi njih nazvati ne utice na samu sustinu zadatka? Tj. da li je pojednostavljenje koje sam ja uveo (a to je da umjesto kompletne duzi duzine l, mozemo posmatrati duz duzine l-z podjeljenu jednom tackom na dva dijela) neopravdano i ako jeste zasto?