Kompleksna jednacina

Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 12:23 · pre 199 meseci #1

Pozdrav,

imam problema sa rijesavanjem jednog zadatka, bio bih zahvalan ako bi mi neko mogao objasniti kako se rijesavaju zadatci ovakvog tipa. Nisam mogao naci na forumu slican zadatak, ako postoji brisite temu i posaljite mi pp :)

Znaci rijesti jednacinu:

z^5 = 16z

gdje je z, z kompleksno.

Hvala

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 12:53 · pre 199 meseci #2

Kompleksan broj se moze predstaviti u trigonometrijskom obliku kao:

$z=\rho(cos\varphi+isin\varphi)$

gde je $\rho$ moduo kompleksnog broja, a $\varphi$ argument kompleksnog broja. . Postoji tzv. Moavrova formula

$z^n=\rho^n(cos n\varphi+isin n\varphi)$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 13:14 · pre 199 meseci #3

Prvo skratiš sa z, ali onda moraš ispitati slučaj kada je to čime skraćuješ nula (z=0 jeste jedno od rešenja) ostala rešenja su rešenja jednačine z⁴=16.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 14:48 · pre 199 meseci #4

Hvala vam oba dvojici.

Rijesio sam problem, mislim da je OK ali ako mozete da potvrdite :)

Znaci kompleksan broj se moze zapisati kao:
$z=a+bi$
Pa moja jednacina postaje:
$(a+bi)^5 - 16(a-bi) = 0$
Razbijanjem levog djela binomnom formulom i sredjivanjem dobija se:
$a^5 - 10a^3b^2 + 5ab^4 - 16a + (5a^4b - 10a^2b^3 + b^5 + 16b)i = 0$
Ocigledno je realni i imaginarni deo moraju biti jednaki nuli, pa imamo sistem od dve jednacine:
$a(a^4 - 10a^2b^2 + 5b^4 - 16) = 0 => a=0$
$b(5a^4 - 10a^2b^2 + b^4 + 16) = 0 => b=0$

1) ako je a=0, zamjenom u prvu jednacinu sistema dobijamo:
$0 = 0$

2) ako je b=0, zamjenom u prvu jednacinu sistema dobijamo:
$a^5 - 16a = 0$
$a^4 = 16$
tj. ono sto je Nedeljko rekao.

Pa su rijesenja jednacine: z = 0 i z = 2.
Zar ne? :)

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 15:02 · pre 199 meseci #5

Za pocetak, imas 7 resenja. A to su:

$z_1=0\\z_2=1\\z_3=-1\\z_4=\frac{1 +\imath \sqrt{3}}{2}\\z_5=\frac{1 - \imath \sqrt{3}}{2}\\z_6=\frac{-1 + \imath \sqrt{3}}{2}\\z_7=\frac{- 1 - \imath \sqrt{3}}{2}$

Nemam vremena da sada resavam.

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 15:12 · pre 199 meseci #6

e jbg sad, ja koliko znam polinom stepena n (gdje je n>= 1) ne moze imati vise on n korjena. Gdje ti nadje sedam?

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 15:18 · pre 199 meseci #7

Pa ti ubaci resenja, pa ces videti da ima 7 :)

Ako je $a+\imath b$ resenje jednacine, onda je i $a-\imath b$ resenje jednacine. Znaci 3 realna resenja i 2 kompleksna (i onda jos 2 zbog ovog sto sam naveo).

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 15:45 · pre 199 meseci #8

Ovo sto si napisao ja znam da je tako, ali kako si ti dobio resenje z4 naprimer? Ili bilo koje od ovih kompleksnih?

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 16:02 · pre 199 meseci #9

Ima ih 5. To su: 0, 2, -2, 2i i -2i.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 16:15 · pre 199 meseci #10

Izvinjavam se, pogresio sam. Ispustio sam 16.
Resenja su:

$z_1=0\\z_2=2\\z_3=-2\\z_4=1 +\imath \sqrt{3}\\z_5=1 - \imath \sqrt{3}\\z_6=-1 + \imath \sqrt{3}\\z_7=- 1 - \imath \sqrt{3}$

$2\imath$ i $-2 \imath$ nisu resenja. Proverite.

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 16:23 · pre 199 meseci #11

@atomant: Ne mozes da imas 7 resenja.

Nedeljko je dao ispravan odgovor.

edit: izvinjavam se, nisam primetio crticu ispod z :)

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 16:29 · pre 199 meseci #12

edit: sad videh editovan post. dakle, nije u pravu.

Dobro, zovite to kako hocete. Ima recimo 5 resenja. I ona su:

$z_1=0\\z_2=2\\z_3=-2\\z_4=1 +\imath \sqrt{3}\\z_5=-1 + \imath \sqrt{3}$

Posto vazi stav:

Citat:

Ako imamo polinom $p(z)=a_n z^n + \ldots + a_0$ gde za svako $0 \leq i \leq n$ vazi $p(z)=0 \Leftrightarrow p(\bar{z})=0$ , $a_i \in \mathbb{R}$

Onda su i $z_6=1 -\imath \sqrt{3}\\z_7=-1 - \imath \sqrt{3}$ resenja jednacine.

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 16:54 · pre 199 meseci #13

$z_5^2=(\sqrt{3}i-1)^2=-2-2\sqrt{3}i$
$z_5^2=(\sqrt{3}i-1)^4=(-2-2\sqrt{3}i)^2=-8+8\sqrt{3}i$

Neće biti da je $z_5^4=16$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 16:59 · pre 199 meseci #14

Moduo od toga je 16

Vratite resenja u originalnu jednacinu i dobicete identitete 0=0.

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 17:48 · pre 199 meseci #15

Tek sad sam video da jednačina zapravo glasi

$z^5=16\bar z$ .

E, to je drugo.

Rešenja su $\pm 2$ i $\pm 1\pm \sqrt 3$ . Ima ih 6, a jednačina nije algebarska.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 17:54 · pre 199 meseci #16

I jos z=0, kao sedmo resenje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 18:04 · pre 199 meseci #17

dobro sad kada smo se dogovorili koja su resenja i o kojoj jednacini se zapravo radi moze li mi neko objasniti kako se ovo cudo resava?

Ja sam pokusao nesto vi rekoste da nije tako, zanima me postupak resavanja jednacina ovog tipa posto nemam slicnih primjera.

Hvala

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 19:02 · pre 199 meseci #18

Idi preko eksponencijalnog oblika:

$z=re^{i\phi}\Longrightarrow r^5e^{5i\phi}=16re^{-i\phi}\iff r^5=16r\land e^{5i\phi}=e^{-i\phi}$

Pošto je $r$ nenegativan realan broj (po definiciji), iz prve jednačine dobijamo $r\in\{0,2\}$

Druga jednačina ekvivalentna je sa $5\phi=-\phi+2n\pi\iff \phi={n\pi\over 3}$ . Da bi obišao pun krug od $2\pi$ , moraš imati šest vrednosti za $n$ , prema tome $n=\overline{1,6}$ .

Kad iskombinuješ sve module sa svim argumentima, dobijaš sedam rešenja (šest koja su različita od nule i sedmo koje je jednako nuli):

$z_n=2e^{in\pi/3},n=\overline{1,6}, z_7=0$

Kad to razviješ u standardni oblik, dobijaš $\pm 2,\pm 1\pm i\sqrt{3},0$

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 19:08 · pre 199 meseci #19

Ti si dobio dva resenja. Trece resenje dobijas iz tvog slucaja pod 2) kada je
$b=0$
$a^4=16$

Ti si uzeo da je a=2, a zaboravio si da je i a=-2 resenje te jednacine. Dakle, trece resenje je

Code:

z = a + ib = -2

Dalje, nisi razmatrao slucaj kada je izraz u zagradi jednak nuli (jednacina x*y= 0 je ekvivalentna sa: x=0 ili y=0, ti si razmatrao samo slucaj x=0). Odatle bi trebalo da dobijes ostala resenja.

Re: Kompleksna jednacina 11.06.2010. u 21:00 · pre 199 meseci #20

Cicha Wolfram kazhe sedam resenja(!): z^5 = Conjugate[z].

Kako da nagovorimo Wolfija da nam to simbolicki resi ? Hmm...

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme