Kako se riješava ovaj integral? - Vol. 3

Kako se riješava ovaj integral? - Vol. 3 04.05.2010. u 03:58 · pre 200 meseci #1

$\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2-x}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}y\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$

Ako ne griješim, trebalo bi izdvojiti zasebno integral po $\mathrm{d}y$ (dakle, ovaj sa kosinusom) i riješti ga primjenom metode smjene. Ali kako uvrstiti u to dobiveno riješenje ovu granicu $2-x$ ? Da li prvo uvrstiti $2$ , pa od toga oduzeti (ili sabrati) izraz koji se dobije uvrštavanjem $-x$ ? Onda bi trebalo, nakon što se to sve izračuna, vratiti taj rezultat kao faktor pod integralni izraz u ostatak prvog integrala i konačno ga riješti?

Kako god, rješenje je $\frac{2}{\pi}$ , što i dobijem ako koristim oduzimanje.

_{[Ovu poruku je menjao R A V E N dana 04.05.2010. u 06:56 GMT+1]}

Re: Kako se riješava ovaj integral? - Vol. 3 04.05.2010. u 09:39 · pre 200 meseci #2

Možda da prvo izraz pod integralom središ koristeći trigonometrijsku formulu

Nakon toga riješiš integral po promjenljivoj y, pa onda po x. Pripaziš na smjene, pa ćeš imati:
- skraćivanje dva ista člana različitog predznaka
- integral od cosx na [-π,π]
- jedan elementarni intergal koji i daje konačni rezultat.
A što se tiče smjena kada radiš integral po y , onda x posmatraš kao nepromjenljivu.

Re: Kako se riješava ovaj integral? - Vol. 3 05.05.2010. u 12:55 · pre 200 meseci #3

Citat:

R A V E N:Ali kako uvrstiti u to dobiveno riješenje ovu granicu $2-x$ ?

Ne razumem šta je tu problem

$\int_0^{2-x}\cos\left(\frac{\pi}{2}y\right) \mathrm{d}y=\frac{2}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{2}y\right)\Big\vert_0^{2-x}=\frac{2}{\pi}\left[\sin\left\{\frac{\pi(2-x)}{2}\right\}-\sin{0}\right]$

Potpis

#define TRUE FALSE /*Happy debugging suckers*/

Re: Kako se riješava ovaj integral? - Vol. 3 02.06.2010. u 19:23 · pre 199 meseci #4

Ja sam bila malo dokona, pa sam resila integral na svoj nacin iako su NicholasMetropolis i Danijell vec objasnili sustinu :)). Evo resenja:

$\int_{x=0}^2\int_{y=0}^{2-x}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}y\right)\,dy\,dx&=&\int_{x=0}^2\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\,dx\int_{y=0}^{2-x}\cos\left(\frac{\pi}{2}y\right)\,dy\\&=&\frac{2}{\pi}\int_{x=0}^2 \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \sin\left(\frac{\pi}{2}y\right)_{y=0}^{y=2-x}\,dx\\&=&\frac{2}{\pi}\int_{x=0}^{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\sin\left(\pi-\frac{\pi}{2}x\right)\,dx\\&=&\frac{2}{\pi}\int_{x=0}^{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\,dx\\&=&\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{2}\int_{x=0}^{2}(1-\cos \pi x)\,dx\\&=&\frac{1}{\pi}\left(x-\frac{1}{\pi}\sin\pi x\right)_{x=0}^{x=2}\\&=&\frac{2}{\pi}$

Srodne teme