Prva Borel Kantelijeva lemaZa ovo jutro imam tri nedoumice:
1. da li je dokaz prve Borel Kantelijeve leme koji nudim korektan?
2. ako je korektan da li je ikada i igde vidjen do sada?
3. ako je korektan da li je ogranicavajuci na diskretne
prostore verovatnoca?
Borel-Kantelijeva lema I kaze:
"Ako red Sum(i:1->beskonacno)P(Ai) konvergira onda je verovatnoca da se realizuje najvise
konacno mnogo dogadjaja iz niza A1, A2,.... jednaka 1."
Problem posmatramo na (Omega, F, P) - sve opet standardno, znaci iz vizure aksiomatskog
zasnivanja verovatnoce.
Neka je Omega = {w1, w2, ...} - skup koji nije konacan. U slucaju da je konacan ne mozemo imati
beskonacno mnogo razlicitih dogadjaja, samim tim ni red iz postavke teoreme.
Imali smo eksperiment, i rezultat tog eksperimenta je jedan od elementarnih ishoda iz Omega,
recimo da je to bio wk.
Pretpostavicemo suprotno: realizovalo se beskonacno mnogo dogadjaja iz F i pokazacemo, da
red iz postavke teoreme divergira.
Neka je Ak klasa dogadjaja takva da Ak = {A|A iz F i wk pripada A}.
Posto se realizovalo beskonacno mnogo dogadjaja, a ishod eksperimenta je wk, zapravo
realizovao se svaki dogadjaj iz Ak, a sto znaci da Ak nije konacan skup.
Tada je Sum(i:1->beskonacno)P(Ai) (Ai iz Ak) >= Sum(i:1->beskonacno)P({wk}).
jer je {wk} podskup Ai, za svako Ai iz Ak.
Postoje dve mogucnosti:
1) P({wk}) = 0
2) P({wk}) = const > 0
U slucaju 2, red Sum(i:1->beskonacno)const, const > 0 divergira, pa divergira i
Sum(i:1->beskonacno)P(Ai), Ai iz Ak.
U slucaju 1, posto se realizovao dogadjaj {wk} cija je verovatnoca 0 nije se realizovao
dogadjaj B = Omega/{wk}, cija je verovatnoca P(B) = 1.
Tada P(B|{wk}) mora biti 0, posto se B nije realizovao, a {wk} se realizovao.
Medjutim P(B|{wk}) nije definisano (nije izracunljivo), jer je P({wk}) = 0
(ne mozemo deliti nulom), te moramo odbaciti mogucnost da je P({wk}) = 0.
Time je dokaz zavrsen.
Najproblematicnije, i ono u cega nisam siguran je ova recenica:
Tada P(B|{wk}) mora biti 0, posto se B nije realizovao, a {wk} se realizovao.
plus to sto tada odbacujemo alternativu P({wk}) = 0
(u kojoj imamo skoro nemoguc dogadjaj-izgleda da su mi takvi sudjeni)
jer uslovna verovatnoca P(B|{wk}) nije izracunljiva.
Standardni dokaz Borel Kantelijeve leme I se ima i na:
http://en.wikipedia.org/wiki/Borel%E2%80%93Cantelli_lemma
Cini mi se da je ovaj mnogo jednostavniji (naravno sve pod uslovom da je korektan).
Da, ovaj dokaz (opet pod uslovom da je korektan) se odnosi na diskretne prostore verovatnoce,
tako da mozda nije opsti, i tu nedoumicu treba razresiti.
Unapred zahvalan svima koji su voljni da sudeluju u razresenju mojih dilema.
potp
